Докажите тождество:

$%\left \lceil{ \dfrac{ \sqrt{8n+1}-1 }{2} } \right \rceil \equiv \left \lfloor{ \dfrac{ \sqrt{8n-7}+1 }{2} } \right \rfloor $%

задан 4 Янв '17 19:55

10|600 символов нужно символов осталось
5

Пусть $%k$% -- значение левой части. Тогда справедливо двойное неравенство $%k-1 < \frac{\sqrt{8n+1}-1}2\le k$%. Это значит, что $%(2k-1)^2< 8n+1\le(2k+1)^2$%, то есть $%\frac{k^2-k}2 < n\le\frac{k^2+k}2$%.

Из первого неравенства следует, что $%\frac{k^2-k}2\le n-1$%, откуда $%4k^2-4k+1\le8n-7$% и $%2k-1\le\sqrt{8n-7}$%. Следовательно, $%k\le\frac{\sqrt{8n-7}+1}2$%.

Из второго неравенства следует $%n-1 < \frac{k^2+k}2$%, что даёт $%8n-7 < 4k^2+4k+1=(2k+1)^2$%. Это значит, что $%\frac{\sqrt{8n-7}+1}2 < k+1$%. По определению целой части числа, правая часть равенства из условия также равна $%k$%, как и левая.

ссылка

отвечен 4 Янв '17 20:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×972
×36

задан
4 Янв '17 19:55

показан
483 раза

обновлен
4 Янв '17 20:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru