неравенства - Логарифмическое неравенство

Пусть $%y=\log_x2$%. Тогда $%x > 0$%, $%x\ne1$%, и $%\log_2x=\frac1y$%. Неравенство можно записать в виде $%\frac{5^y}y+5^{1/y}y\le10$%. В общем виде уравнения такого сложного вида не решаются, поэтому нужно применить неравенства о среднем. При $%y < 0$% неравенство верно. Если $%y > 0$%, то левая часть не меньше удвоенного квадратного корня из произведения слагаемых, то есть $%2\sqrt{5^y\cdot5^{1/y}}=2\cdot5^{(y+1/y)/2}$%. В показателе степени снова применяем неравенство о среднем: для положительных чисел, $%y+1/y\ge2$%, и равенство имеет место только при $%y=1$%. Продолжая неравенство, видим, что левая часть не меньше $%10$%. Значит, она равна $%10$%, что имеет место при $%y=1$%.

В итоге $%y < 0$% или $%y=1$%, что равносильно $%\log_2x < 0$% или $%\log_2x=1$%. Поэтому $%x\in(0;1)\cup\{2\}$%.