Найти углы правильного n-угольника (n>5), для которого разность между длинами большей и меньшей диагоналей равна длине его стороны.

задан 6 Янв '17 21:48

1

Здесь подходит правильный 9-угольник. Равенство следует из тригонометрического соотношения sin(п/9)+sin(2п/9)=sin(4п/9), и может быть также доказано чисто геометрически. Достаточно провести три диагонали, как на этой картинке.

(7 Янв '17 0:33) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Тригонометрия.

Чётное $%n$%: $%\sin\frac{\pi}n+\sin\frac{2\pi}n=1.$% Нечётное $%n$%: $%\sin\frac{\pi}n+\sin\frac{2\pi}n=\cos\frac{\pi}{2n}.$%

У каждого уравнения слева - убывающая функция, а справа константа либо возрастающая функция от $%n$%. Следовательно уравнения имеют не более одного решения в натуральных числах. Первое из них не имеет решения в натуральных числах ($%\sin\frac{\pi}8+\sin\frac{2\pi}8>1,\sin\frac{\pi}{10}+\sin\frac{2\pi}{10}<1$%), а у второго уравнения $%n=9$%.

Геометрия.

Выберем указанные диагонали так, чтобы они были параллельны. Спроектируем меньшую диагональ на большую и сравниваем два "хвостика" большей диагонали со стороной многоугольника...

ссылка

отвечен 7 Янв '17 0:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,903
×51

задан
6 Янв '17 21:48

показан
2286 раз

обновлен
7 Янв '17 0:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru