алгебра - Решить диофантовы уравнения

Фактически, здесь надо решить сравнение x^2-10x+5=0(11). Выделяем полный квадрат: (x-5)^2=20=9(11). Это значит, что (x-5)^2-3^2=(x-2)(x-8)=0(11), то есть x-2 делится на 11 или x-8 делится на 11.

Полагая x=2+11k и подставляя в уравнение, имеем 11y=x^2-10x+5=4+44k+121k^2-20-110k+5, то есть y=-1+11k^2-6k. Это даёт первую серию решений (x,y)=(11k+2,11k^2-6k-1), где k любое целое.

Второй случай аналогичен. Здесь удобно положить x=-3+11m, откуда 11y=9-66m+121m^2+30-110m+5, то есть y=4-16m+11m^2. Вторая серия: (x,y)=(11m-3,11m^2-16m+4), где m любое целое.