Сколько нормальных подгрупп содержит свободная группа ранга 2, фактор-группы по которым изоморфны SL(2,2). задан 8 Янв '17 12:56 Без имени |
Группа $%SL(2,2)$% имеет порядок 6, она неабелева, поэтому она изоморфна симметрической группе $%S_3$%. Для начала надо вычислить число эпиморфизмов на $%S_3$%. Общее число гомоморфизмов свободной группы ранга 2 в группу порядка $%m$% равно $%m^2$%, так как свободные образующие можно отображать произвольно. Здесь будет $%6^2$% гомоморфизмов в $%S_3$%. Среди них имеются несюръективные, и тогда их образ либо единичный, либо изоморфен одной из трёх подгрупп $%\mathbb Z_2$%, либо изоморфен $%\mathbb Z_3$% (такая подгруппа у нас одна). На $%\mathbb Z_2$% имеется $%2^2-1=3$% эпиморфизма. На $%\mathbb Z_3$% их имеется $%3^2-1=8$%. Итого $%3\cdot3+8+1=18$% несюръективных гомоморфизмов. Остальные $%36-18=18$% будут сюръективными. Для каждого ядра гомоморфизма на $%S_3$% имеется 6 гомоморфизмов на $%S_3$% с заданным ядром -- по числу автоморфизмов симметрической группы. Поэтому различных ядер будет в точности три. При желании, их можно было бы перечислить явно. Вот на всякий случай ссылка на несколько более сложную задачу того же типа. отвечен 8 Янв '17 14:40 falcao огромное Вам спасибо, всегда очень выручаете!
(8 Янв '17 14:48)
Без имени
@Без имени: здесь есть ещё такой простой способ. Образующие переходят или в две различные транспозиции, и тогда ядро будет нормальным замыканием a^2, b^2, (ab)^3. Либо они переходят в транспозицию и тройной цикл в том или другом порядке. Это даёт ещё два варианта: a^2, b^3, (ab)^2 и симметричный ему: a^3, b^2, (ab)^2. Это явное описание всех трёх нормальных подгрупп из условия.
(8 Янв '17 15:26)
falcao
|