Сколько нормальных подгрупп содержит свободная группа ранга 2, фактор-группы по которым изоморфны SL(2,2).

задан 8 Янв '17 12:56

10|600 символов нужно символов осталось
0

Группа $%SL(2,2)$% имеет порядок 6, она неабелева, поэтому она изоморфна симметрической группе $%S_3$%. Для начала надо вычислить число эпиморфизмов на $%S_3$%. Общее число гомоморфизмов свободной группы ранга 2 в группу порядка $%m$% равно $%m^2$%, так как свободные образующие можно отображать произвольно. Здесь будет $%6^2$% гомоморфизмов в $%S_3$%. Среди них имеются несюръективные, и тогда их образ либо единичный, либо изоморфен одной из трёх подгрупп $%\mathbb Z_2$%, либо изоморфен $%\mathbb Z_3$% (такая подгруппа у нас одна).

На $%\mathbb Z_2$% имеется $%2^2-1=3$% эпиморфизма. На $%\mathbb Z_3$% их имеется $%3^2-1=8$%. Итого $%3\cdot3+8+1=18$% несюръективных гомоморфизмов. Остальные $%36-18=18$% будут сюръективными.

Для каждого ядра гомоморфизма на $%S_3$% имеется 6 гомоморфизмов на $%S_3$% с заданным ядром -- по числу автоморфизмов симметрической группы. Поэтому различных ядер будет в точности три. При желании, их можно было бы перечислить явно.

Вот на всякий случай ссылка на несколько более сложную задачу того же типа.

ссылка

отвечен 8 Янв '17 14:40

огромное Вам спасибо, всегда очень выручаете!

(8 Янв '17 14:48) Без имени

@Без имени: здесь есть ещё такой простой способ. Образующие переходят или в две различные транспозиции, и тогда ядро будет нормальным замыканием a^2, b^2, (ab)^3. Либо они переходят в транспозицию и тройной цикл в том или другом порядке. Это даёт ещё два варианта: a^2, b^3, (ab)^2 и симметричный ему: a^3, b^2, (ab)^2. Это явное описание всех трёх нормальных подгрупп из условия.

(8 Янв '17 15:26) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,516
×1,018
×433
×241

задан
8 Янв '17 12:56

показан
514 раз

обновлен
8 Янв '17 15:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru