алгебра - Сколько нормальных подгрупп

Группа $%SL(2,2)$% имеет порядок 6, она неабелева, поэтому она изоморфна симметрической группе $%S_3$%. Для начала надо вычислить число эпиморфизмов на $%S_3$%. Общее число гомоморфизмов свободной группы ранга 2 в группу порядка $%m$% равно $%m^2$%, так как свободные образующие можно отображать произвольно. Здесь будет $%6^2$% гомоморфизмов в $%S_3$%. Среди них имеются несюръективные, и тогда их образ либо единичный, либо изоморфен одной из трёх подгрупп $%\mathbb Z_2$%, либо изоморфен $%\mathbb Z_3$% (такая подгруппа у нас одна).

На $%\mathbb Z_2$% имеется $%2^2-1=3$% эпиморфизма. На $%\mathbb Z_3$% их имеется $%3^2-1=8$%. Итого $%3\cdot3+8+1=18$% несюръективных гомоморфизмов. Остальные $%36-18=18$% будут сюръективными.

Для каждого ядра гомоморфизма на $%S_3$% имеется 6 гомоморфизмов на $%S_3$% с заданным ядром -- по числу автоморфизмов симметрической группы. Поэтому различных ядер будет в точности три. При желании, их можно было бы перечислить явно.

Вот на всякий случай ссылка на несколько более сложную задачу того же типа.