Найдутся ли такие функции $%p(x)$% и $%q(x)$%, что $%p(x)$% – чётная функция, а $%p(q(x))$% – нечётная функция (отличная от тождественно нулевой)?

У меня пример некрасивый. Пусть $$p(x)=sgn(|x|-1)$$, тогда как $$q(x) = \begin{cases} \ \ 2, & x > 0 \\ \ \ 1, & x = 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$$

У авторов пример покруче: http://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=65842

Можно ли придумать такой пример, чтобы обойтись и без моей разрывности, и без авторской тригонометрии? Пожалуйста, помогите решить. Заранее благодарю!

задан 9 Янв '17 2:33

изменен 9 Янв '17 2:45

all_exist's gravatar image


38.3k210

@Мадрихат Ширьон, используйте выделение формул не двумя долларами, а $%\$\%$%, чтобы они не выделялись в отдельную строку...

(9 Янв '17 2:43) all_exist

@all_exist , с тригонометрией как-то неожиданно просто получается, весь кайф от задачи пропадает.

(9 Янв '17 3:01) Машакит Хилу...

Можно вместо тригонометрической функции взять кусочно-линейную, хотя это мало что меняет принципиально. Типа, $%|x-2|-1$% при $%x\in[0;4]$%, и дальше периодически продолжаем с периодом 4. Тогда при сдвиге чётная переходит в нечётную, но это мало чем отличается от косинуса. Можно задать и отдельной формулой, при желании.

(9 Янв '17 3:15) falcao

Хм... куда-то комментарии пропадают?...

(9 Янв '17 4:23) all_exist

@falcao , большое спасибо!

(9 Янв '17 10:25) Машакит Хилу...
10|600 символов нужно символов осталось
3

$$p=|\{x\}-1/2|-1/4$$ $$q=x-1/4$$ Здесь $%\{x\}$% - дробная часть $%x$%.

ссылка

отвечен 9 Янв '17 3:05

изменен 9 Янв '17 3:07

Правда, это некоторая "вариация тригонометрии" (игра на периодичности).

(9 Янв '17 3:12) cartesius

@cartesius , большое спасибо!

(9 Янв '17 3:16) Машакит Хилу...
10|600 символов нужно символов осталось
3

В качестве варианта без периодичности...

Функция $%p(x)=\ln|x|$% - чётная... если $%q(x)=e^{1/x}$%, то $%p(q(x))=\frac{1}{x}$% - нечётная...

Разрывы правда остались... но наверное можно, используя идею обратных функций, построить что-нибудь непрерывное...

ссылка

отвечен 9 Янв '17 4:28

изменен 9 Янв '17 4:29

@all_exist , большое спасибо!

(9 Янв '17 10:25) Машакит Хилу...
1

Все таки пример авторов замечателен тем, что там не просто непрерывные а дифференцируемые в нуле функции. Можно попробовать поискать что-нибудь такое плюс апериодичное или доказать что его не существует...

(9 Янв '17 14:33) abc
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,034
×826
×330
×207
×41

задан
9 Янв '17 2:33

показан
367 раз

обновлен
9 Янв '17 14:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru