Существует ли такое натуральное $%n$%, что десятичная запись числа $%3^n$% начинается цифрой 4, а десятичная запись числа $%4^n$% начинается цифрой 3?

задан 9 Янв '17 17:14

$%n=39$%.

(9 Янв '17 18:28) EdwardTurJ

@EdwardTurJ , спасибо большое! А это наименьшее $%n$%?

(9 Янв '17 18:30) Машакит Хилу...

@EdwardTurJ, это всё конечно хорошо, но задача явно не для wolframalpha. Как это на бумажке доказывается?

(9 Янв '17 19:34) Isaev
10|600 символов нужно символов осталось
1

Была в своё время такая статья в "Кванте". Она как раз на эту тему.

Известно, что если $%\alpha$% -- иррациональное число, то дробные части чисел вида $%n\alpha$% при натуральных значениях $%n$% будут равномерно распределены на интервале $%(0;1)$%. Условие о том, что $%3^n$% начинается цифрой $%4$%, означает, что $%4\cdot10^m < 3^n < 5\cdot10^m$% при некотором натуральном $%m$%, и тогда $%n\lg3-m=\{n\lg3\}$% принадлежит интервалу $%(\lg4,\lg5)$%. Аналогично, $%4^n$% начинается цифрой $%3$% тогда и только тогда, когда $%\{n\lg4\}$% принадлежит $%(\lg3,\lg4)$%.

Поскольку иррациональные числа $%\lg3$%, $%\lg4$% несоизмеримы, отсюда должно следовать, что пара чисел $%(\{\lg3\},\{\lg4\})$% равномерно распределена в единичном квадрате $%(0;1)^2$%. Доказать это, скорее всего, не очень просто, но в теории чисел имеются методы, позволяющие это делать. Отсюда будет следовать, что при "больших" значениях $%N$%, на отрезке $%[1;N]$% имеется примерно $%pN$% натуральных чисел, удовлетворяющих условию, где $%p=(\lg5-\lg4)(\lg4-\lg3)\approx0,0121078$%.

Проверка на компьютере показывает, что среди чисел первой тысячи имеется 12 чисел, удовлетворяющих условию, в полном соответствии с приводимой статистикой. Вот их значения:

39 79 167 192 255 343 431 647 672 735 760 823

Наименьшее из них действительно равно 39. А для чисел в пределах до $%10^4$% имеется $%122$% значения, то есть статистическая точность тут весьма высокая.

Хотя факт о равномерной распределённости довольно сложен, несколько проще доказывается тот факт, что соответствующее множество всюду плотно в единичном квадрате. Имеются в виду пары вида $%(\{n\alpha\},\{n\beta\})$% для значений дробных частей кратных двух несоизмеримых иррациональных величин. Отсюда, как минимум, следует, что множество таких чисел бесконечно.

ссылка

отвечен 9 Янв '17 19:48

@falcao , покорнейше благодарна за исчерпывающий ответ!

(10 Янв '17 0:54) Машакит Хилу...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,282
×1,104
×340
×209
×56

задан
9 Янв '17 17:14

показан
545 раз

обновлен
10 Янв '17 0:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru