Исследование функции [закрыт]

Всё же по поводу помощи хотелось получить более конкретные указания. Прежде всего, надо знать, что является местом, на котором вы споткнулись. На счёт области определения надо знать принятые у вас соглашения, поскольку в данном случае она может быть либо R, либо x>=0. (Обычно для таких степеней принято последнее)

Для исследований на локальный экстремум и промежутки выпуклости соответствующие производные достаточно легко вычисляются.

Для нахождения горизонтальной асимптоты надо знать, что x+1 эквивалента x на бесконечности и$$\lim_{x \to +\infty}x^{\frac {m} {n}}=1,m \leq n$$. Вертикальной асимптоты здесь нет (предел достаточно легко найти)

Дополнение по поводу экстремумов и выпуклостей: $$\frac {dy}{dx}=\frac{2}{3}(x+1)^{-1/3}-\frac{2}{3}x^{-1/3}=\frac{2}{3(x+1)^{1/3}}-\frac{2}{3x^{1/3}}=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{(x+1)^{1/3}}-\frac{1}{x^{1/3}}\right)$$. Очевидно, что производная не может обращаться в нуль, а следовательно точек локального экстремума нет. Заметим, что т. к. x+1>x, то производная всюду отрицательна, следовательно, функция убывает. Для определения точек перегиба вычислим вторую производную $$y''=-\frac{2}{9}(x+1)^{-4/3}+\frac{2}{9}x^{-4/3}=\frac{2}{9}\left(\frac{1}{x^{4/3}}-\frac{1}{(x+1)^{4/3}}\right)$$. Из этого равенства можно сделать вывод об отсутствии точек перегиба, а со знаком можно разобраться аналогично предыдущему комментарию.