Помогите, пожалуйста, исследовать функцию: $$ y=(x+1)^{2/3}-x^{2/3}+1 $$

задан 28 Дек '12 17:10

закрыт 28 Дек '12 20:56

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Домашнее задание". Закрывший - ХэшКод 28 Дек '12 20:56

2

Всё же по поводу помощи хотелось получить более конкретные указания. Прежде всего, надо знать, что является местом, на котором вы споткнулись. На счёт области определения надо знать принятые у вас соглашения, поскольку в данном случае она может быть либо R, либо x>=0. (Обычно для таких степеней принято последнее)

Для исследований на локальный экстремум и промежутки выпуклости соответствующие производные достаточно легко вычисляются.

Для нахождения горизонтальной асимптоты надо знать, что x+1 эквивалента x на бесконечности и$$\lim_{x \to +\infty}x^{\frac {m} {n}}=1,m \leq n$$. Вертикальной асимптоты здесь нет (предел достаточно легко найти)

Дополнение по поводу экстремумов и выпуклостей: $$\frac {dy}{dx}=\frac{2}{3}(x+1)^{-1/3}-\frac{2}{3}x^{-1/3}=\frac{2}{3(x+1)^{1/3}}-\frac{2}{3x^{1/3}}=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{(x+1)^{1/3}}-\frac{1}{x^{1/3}}\right)$$. Очевидно, что производная не может обращаться в нуль, а следовательно точек локального экстремума нет. Заметим, что т. к. x+1>x, то производная всюду отрицательна, следовательно, функция убывает. Для определения точек перегиба вычислим вторую производную $$y''=-\frac{2}{9}(x+1)^{-4/3}+\frac{2}{9}x^{-4/3}=\frac{2}{9}\left(\frac{1}{x^{4/3}}-\frac{1}{(x+1)^{4/3}}\right)$$. Из этого равенства можно сделать вывод об отсутствии точек перегиба, а со знаком можно разобраться аналогично предыдущему комментарию.

ссылка

отвечен 28 Дек '12 18:40

изменен 28 Дек '12 19:39

Экстренумы и выпуклости вовсе не легко вычисляются. Именно по ним мне и нужна помощь.

(28 Дек '12 18:50) Валентин

Немножко подправил.

(28 Дек '12 19:39) MathTrbl

Экстренумы есть, как и перегибы, потому что они есть не только, когда производные равны нулю, но и когда производная не определена.

(2 Янв '13 18:02) Валентин
10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×471

задан
28 Дек '12 17:10

показан
692 раза

обновлен
2 Янв '13 18:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru