Случайные величины X и Y независимы и имеют равномерные на [-1,1] распределения . Найти плотность случайной величины 3(X-Y)

задан 11 Янв '17 1:21

Это довольно просто делается. Для суммы (или разности, что безразлично) плотность находится при помощи свёртки. Получится кусочно-линейная функция на [-2;2], и даже без вычислений можно сказать, какая именно.

Для 3Z вместо Z плотность получается простой нормировкой: вместо p(x) будет p(x/3)/3 на [-6,6]. Это также кусочно-линейная функция, площадь под графиком которой равна 1.

(11 Янв '17 2:40) falcao

@falcao с формулой свертки я знаком , но не понимаю как ее применить в данной ситуации. Можете рассказать поподробнее?

(11 Янв '17 13:44) ExcountKek

@ExcountKek: можно поступить проще, рассмотрев геометрическую вероятность на квадрате [-1;1]^2. Тогда вероятность события X-Y<=a интерпретируется через площадь. Это позволяет найти функцию распределения, а её производной будет плотность. Вообще-то при таком подходе кусочная линейность плотности очевидна.

(11 Янв '17 14:40) falcao

@falcao , можете , пожалуйста , рассказать поподробнее про алгоритм решения таких задач?

(12 Янв '17 21:39) ExcountKek

Пусть $%X,Y\sim U[-1;1]$%... тогда $$ f_{X+Y}(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f_X(y)\cdot f_Y(x-y)\;dy = \int\limits_{-1}^{+1} f_Y(x-y)\;dy $$ дальше рассматриваете варианты значения икса... и вычисляете полученный интеграл...

(12 Янв '17 23:18) all_exist

@ExcountKek: я бы решал через геометрическую вероятность. Прежде всего, X-Y распределена на [-2;2], и вне отрезка плотность нулевая. График плотности симметричен относительно нуля. Достаточно найти значения p(a) при -2<a<=0 (так удобнее). Это производная функции распределения, равной F(a)=P(X-Y<=a). Рисуем квадрат [-1;1]^2, и в нём график функции y=x-a. Находим площадь треугольника выше этой прямой, и делим на площадь квадрата. Это даст F(a)=(a+2)^2/8. Тогда p(a)=(a+2)/4=(2-|a|)/4, что будет верно при всех -2<=a<=2. Но вообще-то это всё уже "жёвано-пережёвано", в т.ч. для более сложных задач.

(13 Янв '17 0:08) falcao

@all_exist , пожалуйста , проверьте мое решение . Я делал так , изнаально записал формулу свертки для f[X +(-Y)] = интеграл от -1 до 1 произведения fX * f-Y dy. Плотности с.в. f[Y]=f[X] = 1/2 , -1 <=x<= 1 , 0 иначе . f-Y = fY. Тогда , формула свертки : интеграл от -1 до 1 произведения fX(fX) dy = 1/4(1+1) = 1/2 . f[3(X-Y)]=1/3f(x/3) = 1/6

(13 Янв '17 0:35) ExcountKek

@ExcountKek, при таком наборе формул трудно разбираться ... воспользуйтесь редактором формул, который есть в справке...и не забывайте выделять формулы долларами и процентами (см. справку), чтобы они нормально отображались...

(13 Янв '17 0:38) all_exist

@ExcountKek: формулы, конечно, в таком виде не читаются, но можно сразу сказать, что вывод неверен. У Вас плотность оказалась постоянной, как для равномерного распределения, а на самом деле она должна быть линейной. Ошибка у Вас в том, что Вы плотности положили равной 1/2 всюду, но она где-то равна 1/2, а где-то равна 0, и с этим надо разбираться.

(13 Янв '17 1:02) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,405
×133

задан
11 Янв '17 1:21

показан
1794 раза

обновлен
13 Янв '17 1:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru