Необходимо привести пример последовательности элементов из $%l^{2} \cap l^{3}$%, сходящейся по норме пространства $%l^{3}$%, но не сходящейся по норме пространства $%l^{2}$%.

Что-то трудности испытываю с тем, чтобы предъявить последовательность последовательностей...

задан 11 Янв '17 10:48

10|600 символов нужно символов осталось
1

Ввиду того, что оба пространства являются полными, вместо свойства сходимости по норме можно рассматривать свойство фундаментальности последовательностей как элементов соответствующих нормированных пространств. Беря за основу некоторую числовую последовательность $%a_n$% с положительными членами, определим следующую последовательность числовых последовательностей, полагая $%x_n=(a_1,...,a_n,0,0,...)$% для всех $%n\ge1$%. Все они финитны, поэтому принадлежат $%l_p$% для любого $%p > 1$%.

Рассмотрим норму разности двух последовательностей с номерами $%m\le n$%. Это $%\|x_n-x_n\|=(a_{m+1}^p+\cdots+a_n^p)^{1/p}$% в $%l_p$%. Фундаментальность $%x_n$% означает стремление к нулю числовой последовательности $%a_{m+1}^p+\cdots+a_n^p$% с двойными индексами при $%m,n\to\infty$%. Поэтому теперь достаточно предъявить числовой ряд с общим членом $%a_n$%, для которого $%\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2$% расходится, но $%\sum_{n=1}^{\infty}a_n^3$% сходится.

В этом качестве подойдёт $%a_n=n^{-c}$%, где $%2c < 1 < 3c$%. Достаточно взять $%c=\frac25$%.

ссылка

отвечен 11 Янв '17 12:26

изменен 11 Янв '17 12:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×450
×293
×235
×72

задан
11 Янв '17 10:48

показан
459 раз

обновлен
11 Янв '17 12:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru