Числа p и q подобраны так, что уравнение 2^(1+x)+p+q*2^(1-x)=0 имеет ровно два различных корня, а их сумма равна 4. Найти произведение всех различных корней уравнения (x^2-5x-300)(x^2-px-q)=0.

задан 12 Янв '17 1:28

Приведите первое уравнение к квадратному заменой $%t=2^x$%.

(12 Янв '17 2:08) EdwardTurJ

@EdwardTurJ, да это то и так понятно было) по сути только это и сделал :С

(12 Янв '17 2:43) Антон Коваль
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%x_1\ne x_2$% -- корни первого из уравнений. Положим $%y=2^x$% и рассмотрим квадратное уравнение $%y^2+\frac{p}2y+q=0$% (оно получается с помощью указанной замены, домножения на $%y$% и деления на $%2$%. Его корнями будут $%y_1=2^{x_1}$% и $%y_2=2^{x_2}$%. По условию, их произведение равно $%y_1y_2=2^{x_1+x_2}=16$%. Тогда по теореме Виета $%q=16$%. Поскольку корни положительны, число $%p=-(y_1+y_2)$% отрицательно. Дискриминант уравнения положителен, откуда $%p^2 > 16q=16^2$%, то есть $%p < -16$%. Это всё, что мы можем извлечь из первого уравнения.

Теперь рассмотрим второе уравнение. У многочлена $%x^2-5x-300$% корни равны $%20$% и $%-15$%, что легко увидеть из теоремы Виета. Если мы проверим, что многочлен $%x^2-px-q$% также имеет два различных корня, ни один из которых не равен двум названным выше, то произведение четырёх различных корней уравнения 4-й степени будет равно $%300q=4800$% всё по той же теореме Виета. Осталось осуществить проверку.

Подставляя $%x=20$%, получаем $%400-20p-16=0$%, откуда $%p$% положительно. Подставляя $%x=-15$%, имеем $%225+15p-16=0$%, и оказывается, что $%p=-15+\frac{16}{15} > -15$%, что противоречит неравенству $%p < -16$%. Дискриминант же равен $%p^2+4q=p^2+64 > 0$%, поэтому корни существуют и различны.

ссылка

отвечен 12 Янв '17 2:10

изменен 15 Янв '17 20:26

@falcao а я думал p+q=4, но ладно, спасибо

(12 Янв '17 2:44) Антон Коваль

@Антон Коваль: местоимение "их" можно вроде отнести к числам p и q, но вообще-то обычно берётся последнее из подходящих упоминаний. Но это уже как бы тонкости грамматики русского языка.

(12 Янв '17 3:00) falcao

@falcao Второй случай. Почему "p<−15, что невозможно".? Например, p=-17. Это и меньше -15, и меньше -16 (условие, которое дало первое уравнение) Вроде возможно)) "Невозможно", наверное, относилось к первому случаю: он не подходит, p>-16.

Или я неправильно понял что-то?

(15 Янв '17 20:21) Антон Коваль

@Антон Коваль: там просто опечатка (я сейчас исправлю). Получается p=-15+16/15 > -15, что противоречит условию p < -16.

(15 Янв '17 20:25) falcao

@falcao Тогда как может быть, что корни существуют, если такого p не существует?

(15 Янв '17 21:03) Антон Коваль

@Антон Коваль: почему же не существует? Ведь противоречие получилось с предположением о том, что x=-15 является корнем. То есть мы проверили, что ни 20, ни -15 не являются корнями трёхчлена x^2-px-q, а он сам имеет два различных корня по причине p^2+4q>0. Поэтому корней четыре, они все разные, и остаётся найти произведение по теореме Виета.

(15 Янв '17 21:29) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×843
×471
×237
×93
×72

задан
12 Янв '17 1:28

показан
588 раз

обновлен
15 Янв '17 21:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru