$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)\ast\exp(-\frac{(x-\xi)^2}{t})\,d\xi$$ где $%f(x)=e^{-x}\sin x$%

задан 12 Янв '17 2:10

изменен 12 Янв '17 2:23

falcao's gravatar image


250k23549

10|600 символов нужно символов осталось
3

Преобразуем интеграл $$ I=\int\limits_{\mathbb{R}}\sin\xi\cdot \exp\left(-\xi-\frac{(x-\xi)^2}{t}\right)\;d\xi $$ Поскольку $$ -\xi-\frac{(x-\xi)^2}{t} = \frac{\Big(x-\frac{t}{2}\Big)^2-x^2}{t}-\frac{\Big(\Big(x-\frac{t}{2}\Big)-\xi\Big)^2}{t}, $$ интеграл перепишется как $$ I=\exp\left(-x+\frac{t}{4}\right) \int\limits_{\mathbb{R}}\sin\xi\cdot \exp\left(-\frac{\Big(\Big(x-\frac{t}{2}\Big)-\xi\Big)^2}{t}\right)\;d\xi $$ Сделаем в интеграле замену $$ \eta=\frac{\xi-\Big(x-\frac{t}{2}\Big)}{\sqrt{t}} $$ и получим $$ I=\sqrt{t}\cdot e^{-x+\frac{t}{4}}\cdot \int\limits_{\mathbb{R}}\sin\left( \left(x-\frac{t}{2}\right)+\eta\sqrt{t}\right)\cdot e^{-\eta^2}\;d\eta = $$ $$ =\sqrt{t}\cdot e^{-x+\frac{t}{4}}\cdot\left[\sin\left(x-\frac{t}{2}\right)\cdot \int\limits_{\mathbb{R}}\cos\left(\eta\sqrt{t}\right)\cdot e^{-\eta^2}\;d\eta + \cos\left(x-\frac{t}{2}\right)\cdot \int\limits_{\mathbb{R}}\sin\left(\eta\sqrt{t}\right)\cdot e^{-\eta^2}\;d\eta \right] $$ Очевидно, что последний интеграл равен нулю, как интеграл от нечётной функции...

Итого, $$ I=\sqrt{t}\cdot e^{-x+\frac{t}{4}}\cdot\sin\left(x-\frac{t}{2}\right)\cdot \int\limits_{\mathbb{R}}\cos\left(\eta\sqrt{t}\right)\cdot e^{-\eta^2}\;d\eta $$

Дальше смотрим в учебник Сидоров, Федорюк, Шабунин "Лекции по ТФКП", пример 17 на стр. 251-252...

ссылка

отвечен 12 Янв '17 12:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,261
×76

задан
12 Янв '17 2:10

показан
476 раз

обновлен
12 Янв '17 12:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru