Изучаю довольно длинное доказательство непрерывности экспоненты. И в связи с этим возникли пару вопросов. Нельзя ли такое доказательство перенести на более общие случаи. Верны ли следующие утверждения:

Пусть $%f(x)$% определена и непрерывна на $%\mathbb{Q}$%.

а) Если $%f(x)$% возрастающая, то её всегда можно доопределить по непрерывности на $%\mathbb{R}$%.

б) $%f(x)$% всегда можно доопределить по непрерывности на $%\mathbb{R}$%

c) Если $%f(x)$% можно доопределить по непрерывности на $%\mathbb{R}$%, то полученная функция всегда непрерывна.

задан 14 Янв '17 15:44

10|600 символов нужно символов осталось
1

Ответ на пункт б) отрицательный. Контрпримером служит такая функция на $%\mathbb Q$%: её значение в рациональной точке равно 1, если $%x^2 < 2$%, и нулю при $%x^2 > 2$%. Понятно, что она непрерывна на $%\mathbb Q$%, но не продолжается до непрерывной на всей числовой прямой.

Чтобы продолжение существовало, нужна какие-то дополнительные условия. Неубывания не достаточно, так как годится предыдущий пример со значениями -1 в рациональных точках $%x < -\sqrt2$%. Чтобы продолжение имелось, достаточно равномерной непрерывности функции на конечном отрезке. Для "хороших" функций типа экспоненты это так, и тогда можно рассматривать последовательности Коши. Если к ним применить $%f(x)$%, то снова получится последовательность Коши, и тогда значения в точках из $%\mathbb R$% получаются как пределы, причём они не зависят от выбора фундаментальной последовательности рациональных чисел, сходящейся к $%x$%.

Если продолжение, заданное при помощи фундаментальных последовательностей, существует, то получается непрерывная на $%\mathbb R$% функция. Поскольку свойства здесь локальны, достаточно брать конечные отрезки, на которых ограничение функции на $%\mathbb Q$% должно быть равномерно непрерывно, что доказывается так же, как и теорема Кантора. Тогда непрерывность на $%\mathbb R$% продолженной функции легко проверяется.

ссылка

отвечен 15 Янв '17 20:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,462
×94
×48

задан
14 Янв '17 15:44

показан
273 раза

обновлен
15 Янв '17 20:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru