Пусть $%f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$% -- гладка и ограниченная функция, причем какую бы единичную окружность ни взять, ее среднее значение на этой окружности равно значению в центре круга, ограниченного окружностью. Доказать, что $%f$% постоянна

задан 16 Янв '17 22:06

изменен 16 Янв '17 22:07

В качестве гипотезы...

Возможно можно доказать, что $%f$% является гармонической функцией... (если бы для любой точки среднее значение для окружности любого радиуса не большего единицы было бы равно значению в центре, то можно было бы сослаться на готовую теорему) ...

Если гармоничность доказана, то ссылаемся на теорему (аналог теоремы Лиуввилля для аналитических функций), согласно которой гармоническая функция во всей плоскости является полиномом... А из ограниченности будет следовать, что функция постоянна...

(20 Янв '17 11:04) all_exist

@all_exist, конечно, идея о гармонических функциях приходит сразу же. Однако, доказать гармоничность пока что не выходит

(20 Янв '17 22:15) no_exception

@no_exception: мысль о гармоничности у меня тоже была, и сам этот факт верен, коль скоро функции только постоянные, но пока не ясно, будет ли эта задача проще. Может быть, надо как-то опираться на те же идеи, которые применялись в ходе доказательства постоянства ограниченных гармонических функций?

(21 Янв '17 2:50) falcao

@Urt: а почему верно первое?

(21 Янв '17 5:01) falcao

@Urt: к сожалению, я пока не улавливаю идею. Видимо, представляю себе что-то не то. При тех сдвигах, о которых Вы говорите, точки пересечения дадут какие-то отрезки, которые зависят от направления. Поэтому последнее утверждение непонятно.

(21 Янв '17 5:28) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $% z_0 \in \mathbb {R}^2 $% - максимальная точка (т. е. точка, для которой значение $% f(z) $% максимально). Тогда почти все точки окружности $% \{ z \in \mathbb {R}^2 | \rho (z,z_0)=1\} $% максимальны. Тогда почти все точки круга $% \{ z \in \mathbb {R}^2 | \rho (z,z_0)\le 1\} $% максимальны. Тогда вообще почти все точки $% \mathbb {R}^2 $% максимальны и с учетом гладкости $% f(z) $% можно заключить, что $% f(z) = const $%.

ссылка

отвечен 22 Янв '17 12:17

изменен 22 Янв '17 12:19

@Urt: это не проходит. Дело в том, что функция задана на плоскости, и максимума она ни в одной точке может не достигать. Если максимум достигается где-нибудь, то это очень лёгкий случай, и тогда всякая непрерывная функция постоянна. Рассуждение тут было бы совсем простое: на окружности то же максимальное значение достигается всюду (непрерывность!), и тогда получается, что на расстоянии 1 от точки максимума снова находится точка максимума. А ломаной со звеньями 1 можно соединить любые точки.

Думаю, что функция должна быть именно гладкой, как в условии. Для непрерывных должен быть контрпример.

(22 Янв '17 12:33) falcao

@falcao. Из условия ограниченности следует, что имеются наибольшее и наименьшее значения (в смысле sup и inf). Если этого нет, то подойдет, например, f(x,y)=x - непостоянная функция.

(22 Янв '17 12:42) Urt
1

@falcao есть очень сильный форум: http://dxdy.ru/topic112230.html там дается несколько решений, все из них используют именно непрерывность. Похоже сложнее придумать решение которое бы использовало гладкость чем доказать что достаточно непрерывности)

(22 Янв '17 13:13) abc

@Urt: для функции на всей плоскости существуют только sup и inf, но они не обязаны достигаться где-либо. Можно даже пример многочлена привести: (xy-1)^2+x^2. Если sup где-то достигается, то в этом случае доказательство очень простое.

@abc: спасибо за ссылку. Чуть позже изучу.

(22 Янв '17 13:30) falcao

@falcao, замена термина "максимальная" на "е-максимальная с любым е>0" приводит к установлению факта е-постоянства функции с любым е>0. В чем отличие от доказываемого утверждения для гладкой функции?

(22 Янв '17 13:52) Urt

@falcao, проводя аналогичные рассуждения в отношении е-минимальных точек, можно также установить, что каждая точка является одновременно и е-минимальной, и е-максимальной и inf f(z)=sup f(z).

(22 Янв '17 14:22) Urt

@Urt: если рассмотреть идею с е-максимальной точкой, то теряется важное свойство. При максимуме, который достигается, мы имели как следствие, что на всей окружности значение такое же. Отсюда следовало, что любая точка на расстоянии 1 от максимальной также максимальна. И тогда по транзитивности получалось, что все точки максимальны. Теперь же мы не можем этого гарантировать: на окружности в каких-то точках значение будет е-максимально, а в каких-то не будет.

(22 Янв '17 14:59) falcao

@abc, законченное решение я там вижу только через обобщенные функции, и, действительно, оно использует только непрерывность и ограниченность исходной функции. Очень интересно!

(22 Янв '17 18:06) no_exception

@no_exception: а с использованием идеи инверсии доказательство разве не проходит?

(22 Янв '17 20:02) falcao

@falcao, я пока что не понял, как строго описать шаг, когда максимум не достигается и применяется инверсия. Вы можете это пояснить подробно?

(22 Янв '17 20:42) no_exception

@no_exception: я понял эту идею так: если максимум нигде не достигается, то существует последовательность точек плоскости, стремящаяся к бесконечности, значения функции для которых стремятся к sup f. Тогда к плоскости применяем инверсию. Тогда образы точек стремятся к нулю, и максимум новой функции достигается уже там. Из этого что-то может получиться, хотя на строгом уровне я это дело не проверял.

(22 Янв '17 21:11) falcao

@falcao, на словах идея понятна. Но как потом возвращаться назад? И как это показать сирого?

(22 Янв '17 21:26) no_exception
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×251
×9

задан
16 Янв '17 22:06

показан
1287 раз

обновлен
22 Янв '17 21:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru