Решить разностное уравнение (без использования - преобразования)

x[n+2]-3x[n+1]+2[n]=0, x[0]=0; x[1]=1

Как делать с преобразованием, я знаю, а как обойтись без преобразования, подскажите, пожалуйста.

задан 17 Янв '17 12:56

1

Какое преобразование здесь имеется в виду, которое нельзя использовать?

(17 Янв '17 17:41) falcao

Дискретное преобразование Лапласа

(17 Янв '17 18:26) vadim11
10|600 символов нужно символов осталось
2

Мне бы в голову не пришло использовать здесь Лапласа :) Это обычная задача на рекуррентные соотношения. Характеристическое уравнение имеет вид $%\lambda^2-3\lambda+2=0$%. Его корни равны $%2$% и $%1$%. Значит, общее решение имеет вид $%x_n=c_12^n+c_2$%, где $%c_1$% и $%c_2$% -- константы. Из начальных условий при $%n=0$% и $%n=1$% имеем $%0=c_1+c_2$% и $%1=2c_1+c_2$%, откуда $%c_1=1$%, $%c_2=-1$%, то есть $%x_n=2^n-1$%. Это выражение при желании можно просто подставить и всё проверить.

Можно также решить по-другому, заметив, что для $%y_n=x_{n+1}-x_n$%, уравнение принимает вид $%y_{n+1}=x_{n+2}-x_{n+1}=2(x_{n+1}-x_n)=2y_n$%. С учётом $%y_0=x_1-x_0=1$%, это даёт $%y_n=2^n$%. Тогда $%x_n=(x_n-x_{n-1})+\cdots+(x_1-x_0)=y_{n-1}+\cdots+y_0=2^{n-1}+2^{n-2}+\cdots+2+1=2^n-1$% по формуле суммы членов геометрической прогрессии.

ссылка

отвечен 17 Янв '17 23:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,645
×38

задан
17 Янв '17 12:56

показан
359 раз

обновлен
17 Янв '17 23:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru