|
Дана задача: вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций: $%1≤ρ≤\sqrt{2sin(2φ)}$% (вокруг полярной оси). задан 2 Янв '13 17:53 
nikname2014 |
|
Воспользуйтесь формулой $$V=\frac{2}{3}\pi\int_{\alpha}^{\beta}\rho^3(\varphi)sin\varphi d\varphi$$. В приведенной задаче $%\alpha=\frac{\pi}{12},\beta=\frac{5\pi}{12}$%. $$V_1=\frac{2}{3}\pi\int_{\alpha}^{\beta}\rho_1^3(\varphi)sin\varphi d\varphi; V_2=\frac{2}{3}\pi\int_{\alpha}^{\beta}\rho_2^3(\varphi)sin\varphi d\varphi; V=V_1-V_2;$$$$\rho_1(\varphi)=\sqrt{2sin(2\varphi)};\rho_2(\varphi)=1.$$ отвечен 3 Янв '13 21:30 
Anatoliy Интеграл там вчера что-то не взялся никак (в первом случае)
(3 Янв '13 21:36)
epimkin
Хорошая формула. Но интегралы во всех случаях примерно одинаковые, от произведения дробных степеней синуса и коснуса.
(3 Янв '13 21:58)
DocentI
Я знаю эту формулу- но сути видимо не понимаю- почему мы вычитаем объем сферы из объемной лемнискаты? Разве он заодно не отнимает тот объем, который вне их общего пространства? Или я не понимаю чего-то? Что очень возможно. Спасибо за помощь- разъясните еще более на пальцах:__)
(4 Янв '13 0:05)
nikname2014
Ну, не всей сферы. Только ее части от А до С. Когда вращаем лемнискату, в объем входит все вплоть до оси иксов. А нам этого не надо. Вообще-то лучше использовать криволинейный интеграл, он сам "думает", что с каким знаком взять.
(4 Янв '13 1:01)
DocentI
Вот смотрите http://i51.fastpic.ru/big/2013/0115/ff/47412a75f393d0d55d621da823f5cbff.jpg площадь красным- это круга между этими углами. Зеленым- искомая, а в которой синие точки- разве они не мешают, когда мы из площади лемнискаты вычитаем площадь круга (красная штриховка), разве не остается лишние с синими точками?
(15 Янв '13 12:22)
nikname2014
Во-первых, мы берем не всю лемнискату, а только между точками пересечения. Во вторых, считаем не площадь, объем. В третьих, вы не то заштриховали, надо из всех точек опустить перпендикуляры на ось Ox. Получим фигуру, которую надо вращать.
(15 Янв '13 13:20)
DocentI
Ну ладно, предположим нужно решать как говорит Anatoliy. Как интеграл найти такой жестокий???
(15 Янв '13 14:00)
nikname2014
Если обозначить, например, $%\sin \varphi = t$%, получим диф. бином, третий случай.
(15 Янв '13 20:14)
DocentI
Ну я пробовал- только я не понял про бином третий случай- там вроде получается что-то типа интеграл от t*sqrt(t-t^3). тоже не печеньки есть
(15 Янв '13 21:13)
nikname2014
показано 5 из 9
показать еще 4
|
|
График состоит из двух лепестков, расположенных в 1 и 3 четвертях. Достаточно рассмотреть один из них.
Перейдем к декартовым координатам $%x=\rho \cos\varphi, y = \rho\sin \varphi$%. Заданные линии разбиваются на три ветви, проецируемые на ось O точками $%A, B, C$% Интеграл по лемнискате равен $%\int_{A}^{C}2\sin 2\varphi\sin^2\varphi d(\sqrt{2\sin 2\varphi}\cos \varphi)$%. Выполнив дифференцирование, получим функцию от $%\varphi$%, которую надо проинтегрировать по отрезку $%[{\pi\over 12}, {5\pi\over 12}]$%. Во втором интеграле вместо уравнения лемнискаты берется уравнение окружности. Это способ решения "в лоб". Наверное, можно найти что-нибудь более изящное. отвечен 3 Янв '13 1:33 
DocentI Есть и другие формулы для вычисления объема, см., например, здесь. Там, правда, используется криволинейный интеграл 2 рода, но это не страшно, суть такая же, как в моем ответе, только подынтегральные функции немного другие.
(3 Янв '13 2:09)
DocentI
Таак, что за ось О? И почему точка В? И почему у нее 5Пи/12? и откуда такая сумма странная? И как это дифференцировать то что в интеграла? Я не уловил хода мысли..
(3 Янв '13 20:38)
nikname2014
Ось $%Ox$%. У точки B угол пи/6, впрочем, она не нужна в решении. Сумм там много, какая кажется странной? Интеграл, действительно, нехороший, с корнями из тригонометрических функций. Подсчет интеграла - это уже другой вопрос. Думайте сами.
(3 Янв '13 20:56)
DocentI
|
