Дана задача: вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций: $%1≤ρ≤\sqrt{2sin(2φ)}$% (вокруг полярной оси).

задан 2 Янв '13 17:53

изменен 2 Янв '13 18:41

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
0

Воспользуйтесь формулой $$V=\frac{2}{3}\pi\int_{\alpha}^{\beta}\rho^3(\varphi)sin\varphi d\varphi$$. В приведенной задаче $%\alpha=\frac{\pi}{12},\beta=\frac{5\pi}{12}$%. $$V_1=\frac{2}{3}\pi\int_{\alpha}^{\beta}\rho_1^3(\varphi)sin\varphi d\varphi; V_2=\frac{2}{3}\pi\int_{\alpha}^{\beta}\rho_2^3(\varphi)sin\varphi d\varphi; V=V_1-V_2;$$$$\rho_1(\varphi)=\sqrt{2sin(2\varphi)};\rho_2(\varphi)=1.$$

ссылка

отвечен 3 Янв '13 21:30

Интеграл там вчера что-то не взялся никак (в первом случае)

(3 Янв '13 21:36) epimkin

Хорошая формула. Но интегралы во всех случаях примерно одинаковые, от произведения дробных степеней синуса и коснуса.

(3 Янв '13 21:58) DocentI

Я знаю эту формулу- но сути видимо не понимаю- почему мы вычитаем объем сферы из объемной лемнискаты? Разве он заодно не отнимает тот объем, который вне их общего пространства? Или я не понимаю чего-то? Что очень возможно. Спасибо за помощь- разъясните еще более на пальцах:__)

(4 Янв '13 0:05) nikname2014

Ну, не всей сферы. Только ее части от А до С. Когда вращаем лемнискату, в объем входит все вплоть до оси иксов. А нам этого не надо. Вообще-то лучше использовать криволинейный интеграл, он сам "думает", что с каким знаком взять.

(4 Янв '13 1:01) DocentI

Вот смотрите http://i51.fastpic.ru/big/2013/0115/ff/47412a75f393d0d55d621da823f5cbff.jpg площадь красным- это круга между этими углами. Зеленым- искомая, а в которой синие точки- разве они не мешают, когда мы из площади лемнискаты вычитаем площадь круга (красная штриховка), разве не остается лишние с синими точками?

(15 Янв '13 12:22) nikname2014

Во-первых, мы берем не всю лемнискату, а только между точками пересечения. Во вторых, считаем не площадь, объем. В третьих, вы не то заштриховали, надо из всех точек опустить перпендикуляры на ось Ox. Получим фигуру, которую надо вращать.

(15 Янв '13 13:20) DocentI

Ну ладно, предположим нужно решать как говорит Anatoliy. Как интеграл найти такой жестокий???

(15 Янв '13 14:00) nikname2014

Если обозначить, например, $%\sin \varphi = t$%, получим диф. бином, третий случай.

(15 Янв '13 20:14) DocentI

Ну я пробовал- только я не понял про бином третий случай- там вроде получается что-то типа интеграл от t*sqrt(t-t^3). тоже не печеньки есть

(15 Янв '13 21:13) nikname2014
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
0

График состоит из двух лепестков, расположенных в 1 и 3 четвертях. Достаточно рассмотреть один из них. Перейдем к декартовым координатам $%x=\rho \cos\varphi, y = \rho\sin \varphi$%. Заданные линии разбиваются на три ветви, проецируемые на ось O точками $%A, B, C$%
alt text
Их полярные углы равна $%{\pi\over 12}, {\pi\over 6}, {5\pi\over 12}$% соответственно. Объем получается с помощью 3 интегралов, $%\pi\int y^2dx$%. Получаем сумму вида $%\pi(\int_C^B - \int_C^A-\int_A^B)$%. В первом интеграле поменяем пределы, получим сумму $%-\pi(\int_A^C + \int_C^A)$% причем первый интеграл берется по лепестку лемнискаты, а второй - по окружности.

Интеграл по лемнискате равен $%\int_{A}^{C}2\sin 2\varphi\sin^2\varphi d(\sqrt{2\sin 2\varphi}\cos \varphi)$%. Выполнив дифференцирование, получим функцию от $%\varphi$%, которую надо проинтегрировать по отрезку $%[{\pi\over 12}, {5\pi\over 12}]$%.

Во втором интеграле вместо уравнения лемнискаты берется уравнение окружности.

Это способ решения "в лоб". Наверное, можно найти что-нибудь более изящное.

ссылка

отвечен 3 Янв '13 1:33

изменен 3 Янв '13 2:14

Есть и другие формулы для вычисления объема, см., например, здесь. Там, правда, используется криволинейный интеграл 2 рода, но это не страшно, суть такая же, как в моем ответе, только подынтегральные функции немного другие.

(3 Янв '13 2:09) DocentI

Таак, что за ось О? И почему точка В? И почему у нее 5Пи/12? и откуда такая сумма странная? И как это дифференцировать то что в интеграла? Я не уловил хода мысли..

(3 Янв '13 20:38) nikname2014

Ось $%Ox$%. У точки B угол пи/6, впрочем, она не нужна в решении. Сумм там много, какая кажется странной? Интеграл, действительно, нехороший, с корнями из тригонометрических функций.
Попробуйте какую-нибудь другую формулу из ссылки. Вы криволинейный интеграл проходили?

Подсчет интеграла - это уже другой вопрос. Думайте сами.

(3 Янв '13 20:56) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,313
×900

задан
2 Янв '13 17:53

показан
1435 раз

обновлен
15 Янв '13 21:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru