функциональный-анализ - Сходимость последовательности последовательностей

Во второй норме непонятна роль максимума. В первом случае понятно: берётся максимум модуля функции на отрезке. Но вторая норма -- просто сумма числа и интеграла. Или можно было взять максимум двух чисел, но это даст эквивалентную норму.

Сходимость достаточно рассматривать к нулевой функции. То есть надо брать функции, которые становятся всё ближе к нулю, но при этом они часто колеблются, и интеграл от модуля производной будет большой.

Чтобы колебаний было много, берём $%\sin2\pi nt$%. Чтобы колебания "затухали", домножаем на $%a_n\to0$%. Значение $%a_n$% уточним позже.

Таким образом, полагаем $%f_n(t)=a_n\sin2\pi nt$%. Ясно, что первая норма равна $%a_n$%, и её значение стремится к нулю. Далее, $%f_n'(t)=na_n\cos2\pi nt$%. Теперь надо найти интеграл от модуля косинуса. Это площадь функции под графиком. Для функции $%|\cos2\pi nt|$% график состоит из $%2n$% "горбиков". Площадь одного из них легко вычисляется через интеграл, и она равна $%\frac1{\pi n}$%. Всё вместе даёт $%\frac2{\pi}$%.

Итого вторая норма для $%f_n$% будет равна $%\dfrac{2na_n}{\pi}$% (значения в нуле равны нулю). Теперь достаточно взять $%a_n=\frac1n$%, и тогда окажется, что вторая норма к нулю не стремится, и сходимости по ней уже не будет. Здесь надо отметить, что сходимость по норме может быть только к нулевой функции, что обосновывается достаточно просто.