Необходимо привести пример последовательности функций из $%{C}^{1}[0,1]$%, сходящейся по норме $%\|f\| = \max_{t\in[0,1]} |f(t)|$%, но не сходящейся по норме $%\|f\| = \max|f(0)| + \int_{0}^{1} |f'(t)|dt$%.

Никак не могу подобрать пример такой последовательности(

задан 20 Янв '17 18:49

изменен 20 Янв '17 19:52

all_exist's gravatar image


43.0k212

@hoolt: такой текст сложно читать. Если Вы не набираете формулы по правилам LaTeX'а, то нижние и верхние индексы изображаются как a_3 или b^2. Никаких "тегов" типа языка html тут не надо.

(20 Янв '17 19:05) falcao

Вроде вышло исправить.

(20 Янв '17 19:06) hoolt
10|600 символов нужно символов осталось
0

Во второй норме непонятна роль максимума. В первом случае понятно: берётся максимум модуля функции на отрезке. Но вторая норма -- просто сумма числа и интеграла. Или можно было взять максимум двух чисел, но это даст эквивалентную норму.

Сходимость достаточно рассматривать к нулевой функции. То есть надо брать функции, которые становятся всё ближе к нулю, но при этом они часто колеблются, и интеграл от модуля производной будет большой.

Чтобы колебаний было много, берём $%\sin2\pi nt$%. Чтобы колебания "затухали", домножаем на $%a_n\to0$%. Значение $%a_n$% уточним позже.

Таким образом, полагаем $%f_n(t)=a_n\sin2\pi nt$%. Ясно, что первая норма равна $%a_n$%, и её значение стремится к нулю. Далее, $%f_n'(t)=na_n\cos2\pi nt$%. Теперь надо найти интеграл от модуля косинуса. Это площадь функции под графиком. Для функции $%|\cos2\pi nt|$% график состоит из $%2n$% "горбиков". Площадь одного из них легко вычисляется через интеграл, и она равна $%\frac1{\pi n}$%. Всё вместе даёт $%\frac2{\pi}$%.

Итого вторая норма для $%f_n$% будет равна $%\dfrac{2na_n}{\pi}$% (значения в нуле равны нулю). Теперь достаточно взять $%a_n=\frac1n$%, и тогда окажется, что вторая норма к нулю не стремится, и сходимости по ней уже не будет. Здесь надо отметить, что сходимость по норме может быть только к нулевой функции, что обосновывается достаточно просто.

ссылка

отвечен 20 Янв '17 19:40

Благодарю!

(20 Янв '17 19:47) hoolt
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×516
×307
×255
×75

задан
20 Янв '17 18:49

показан
423 раза

обновлен
20 Янв '17 19:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru