Прохожу учебник Ануфриенко "Введение в теорию множеств и комбинаторику".

Вот, как он определяет пустое множество:

Бывают случаи, когда условие $% P(a) $% определено таким образом, что нет ни одного элемента, который бы удовлетворял этому условию. <...>. Множество, не содержащее ни одного элемента, обозначается $% \varnothing $% и называется пустым множеством. Его можно определить еще и так: $% \varnothing = \{x:x-\text{множество и } x\neq x\} $%. <...>. В случае, когда $% A $% не содержит элементов, т.е. является пустым, принто считать, что каждый его элемент удовлетворяет произвольному свойству $% P'(x) $%.

Далее идет упражнение:

Докажите, что $% \varnothing $% содержится в любом множестве. Как это доказать?


Единственный способ, который пришел мне в голову:

Рассмотрим произвольное множество $% A $%. Все элементы этого множества удовлетворяют некоторому свойству $% P(a) $%. Но все элементы $% \varnothing $% тоже удовлетворяют $% P(a) $%. Значит все элементы пустого множества принадлежат множеству $% A $%, а значит $% \varnothing \subset A $%. Так как $% A $% - произвольное множество $% \Rightarrow$% пустое множество содержится в любом произвольном множестве.

Правилен ли мой ход мыслей? Можно ли доказать другим способом?

задан 22 Янв '17 16:26

изменен 22 Янв '17 16:35

1

Да, такое рассуждение правильно. Всякий элемент пустого множества принадлежит A, то есть $%\emptyset\subseteq A$%.

Другой способ такой: условие $%X\subseteq Y$% неверно, когда не всякий элемент $%X$% принадлежит $%Y$%. Это значит, что существует элемент $%x\in X$% такой, что $%x\notin Y$%. В нашем случае это даёт $%x\in\emptyset$% и $%x\in A$%. Но такое высказывание ложно по определению пустого множества.

(22 Янв '17 19:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×587
×237
×34

задан
22 Янв '17 16:26

показан
986 раз

обновлен
23 Янв '17 16:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru