|
Найти производную функции z = x^2 - xy + y^2 в точке M(1,1) в направлении l , составляющего угол alpha с положительным направлением оси ОХ . В каком направлении эта производная имеет : 1) наибольшее значение ; 2) наименьшее значение ; 3) равна нулю задан 22 Янв '17 23:38 
ExcountKek |
|
Производная по направлению - это скалярное произведение вектора градиента с вектором направления единичной длины. Вектор направления, составляющий угол $%\alpha$% с осью $%OX$%: $%(\cos\alpha,\sin \alpha)$%. Градиент: $%(z'_x;z'_y)=(2x-y;-x+2y)$%, в точке $%(1;1)$% он принимает значение $%(1;1)$%. Таким образом, производная равна $%1\cdot\cos\alpha+1\cdot\sin\alpha=\cos\alpha+\sin\alpha$%. То есть, требуется найти точку максимума, минимума и нули функции $%f(\alpha)=\cos\alpha+\sin\alpha$% на промежутке $%[0;2\pi)$%. Исследование с помощью производной показывает, что наибольшее значение будет при $%\alpha=\pi/4$%, наименьшее - при $%\alpha=5\pi/4$%, а нули - при $%\alpha=3\pi/4$% и $%\alpha=7\pi/4$%. отвечен 23 Янв '17 0:09 
cartesius |
Тут можно также использовать общий факт, что градиент даёт направление максимального роста функции. Тогда легко сообразить, что будет в двух других пунктах.