Прошел тему про операции над множествами (пересечение, объединение, дополнение и разность).

Встретил такую задачу:

Известно, что $% \{a,b\}\subseteq\{c\} $%. Что можно сказать об элементах этих множеств?

Мое предположение: $% a = \varnothing $% и $% b = \varnothing $%. Или что $% a=b=c $% и это одинаковые элементы и $% \{a,b\}=\{c\} $%.

Но мне кажется, что мои предположения неверны, так как буквы-то разные: a и b, а значит они означают разные элементы...

задан 23 Янв 13:26

@CMTV: здесь ответ совершенно однозначный. У нас есть подмножество $%\{a,b\}$%. Каждый его элемент принадлежит "объемлющему", то есть $%\{c\}$%. Это значит, что он совпадает с $%c$%. Следовательно, $%a=c$% и $%b=c$%. Это необходимое и достаточное условие.

Предположение о пустоте множеств, разумеется, неверно. Равно как неверно предположение о том, что $%a$% и $%b$% разные. Но тут есть тонкость: если про $%a$% и $%b$% сказано, что это символы алфавита, то они точно разные, и включения быть вообще не может. Если не сказано, то это некие переменные, значение которых может быть любым.

(23 Янв 13:51) falcao

@falcao. Спасибо! Нет, там не говорилось, что a и b - символы. А почему a и b не могут быть пустыми множествами? Ведь никто не запрещает использовать множество, элементами которого являются пустые множества. А пустое множество содержится во всем множествах, а значит в {c}

(23 Янв 13:54) CMTV
1

@CMTV, пустое множество и множество, состоящее из пустого множества - разные. Первое не содержит элементов, второе содержит 1 элемент - пустое множество. Так, $%\varnothing\subseteq\{c\}$%, а $%\{\varnothing\}$% в общем случае не содержится в $%\{c\}$%.

(23 Янв 14:34) cartesius
1

@CMTV: в теории множеств есть отношение принадлежности $%\in$%, и есть отношение включения $%\subseteq$%. Их ни в коем случае нельзя между собой путать. Пустое множество "содержится" в любом множестве в качестве подмножества, но совершенно не обязательно в качестве элемента. Давайте обозначим для простоты пустое множество как $%0$%; можно считать (и так делают), что это есть формальное определение числа "ноль". Понятно, что элемент $%0$%, как и любой другой, множеству может как принадлежать, так и не принадлежать. Если $%a=0$%, но $%c\ne0$%, то условие $%a\in\{c}\$% не выполняется.

(23 Янв 14:35) falcao

Да, да. Я знаю про различие между "принадлежит" и "содержится". Просто в этом случае не подумал об этом. Спасибо вам большое: @falcao и @cartesius!

(23 Янв 14:55) CMTV
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×412
×164
×27

задан
23 Янв 13:26

показан
208 раз

обновлен
23 Янв 14:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru