разложить функцию F(x)=sng(cos x) в ряд Фурье

задан 25 Янв '17 14:29

Во-первых, не sng, а sgn. Во-вторых, в условии задачи разложения функции в ряд Фурье должен быть указан промежуток.

Функция здесь кусочно-постоянная, то есть совсем простая. Коэффициенты Фурье вычисляются по стандартным формулам из учебника.

(25 Янв '17 16:26) falcao

просто в задании именно sng и нет промежутка, поэтому и возник вопрос как это собственно сделать.

(25 Янв '17 17:36) собими

@falcao, функция ведь периодическая, поэтому и не указан промежуток.

(25 Янв '17 17:52) cartesius

@собими: sng -- это опечатка. "Знак" -- это signum, и эту функцию могут обозначать как sgn или sign, но не иначе. Ведь не имелось же в виду СНГ? :)

Насчёт промежутка, с учётом замечания @cartesius всё стало понятно. Сейчас изложу решение.

(25 Янв '17 18:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Функция чётна, поэтому раскладывать будем по косинусам, беря интервал $%(-\pi;\pi)$%. При нахождении коэффициентов достаточно брать удвоенный интеграл по отрезку $%[0;\pi]$%. Функция $%{\rm sgn}(\cos x)$% равна $%1$% на левой половине, и $%-1$% на правой. Отсюда $%a_n=\frac2{\pi}(\int\limits_0^{\pi/2}\cos nx\,dx-\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\cos nx\,dx)$%. Понятно, что $%a_0=0$%.

Из соображений симметрии ясно, что при $%n\ge1$% второй интеграл по знаку противоположен первому, откуда $%a_n=\frac4{\pi}\int\limits_0^{\pi/2}\cos nx\,dx=\frac4{\pi n}\sin\frac{\pi n}2$%. При чётных $%n$% получается $%0$%. При нечётных $%n=2k+1$% значение синуса равно $%(-1)^k$%. Отсюда получается такое разложение в ряд Фурье: $$F(x)=\frac4{\pi}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}\cos(2k+1)x.$$ Сходимость к значению функции имеет место при $%x\ne\frac{\pi}2+2\pi n$%, где $%n$% целое.

ссылка

отвечен 25 Янв '17 18:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,067
×65

задан
25 Янв '17 14:29

показан
721 раз

обновлен
25 Янв '17 18:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru