Имеется полином P(z) $%P(z) = z^n+a_1z^{(n-1)}+...+a_n, z,a_i$% -вообще говоря, комплексные и коэффициенты $%a_i$% не обращаются в ноль одновременно. Требуется доказать, что хотя бы в одной точке окружности $%abs(z) = 1$% справедливо $%abs(P(z))>1$%
Пожалуйста, подскажите идеи.

задан 3 Янв '13 22:27

закрыт 4 Янв '13 21:54

DocentI's gravatar image


9.8k937

1

Что случилось? Решили удалить задачу? Она все еще доступна, если посмотреть историю изменений.

(4 Янв '13 18:30) DocentI

@putin, не стоит удалять текст Вашего вопроса. Если Вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый. Вы также можете закрыть вопрос, указав соответствующую причину.

(4 Янв '13 19:32) Deleted

А зачем? Вопрос интересный. Если хотите, закрою.

(4 Янв '13 21:23) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Вопрос отвечен и ответ принят". Закрывший - DocentI 4 Янв '13 21:54

2

Рассмотрим функцию $%f(z) = {P(z)\over z^{n + 1}}$% и проинтегрируем ее по единичной окружности. Интеграл будет равен $%2\pi i$%. С другой стороны, модуль этого интеграла не превосходит интеграла от модуля f, то есть $%\int |P(z)|dz $%. Предположим, что $%|P(z)|\le 1$% на единичной окружности и хотя бы в одной точке строго меньше 1. Тогда интеграл от модуля строго меньше $%2\pi$%. Пришли к противоречию.

Осталось рассмотреть случай, когда модуль многочлена равен 1 на всей окружности. Я пока не додумала этот случай, но, по-видимому он сводится к $%P(z) = z^n$%.

ссылка

отвечен 4 Янв '13 2:05

изменен 4 Янв '13 2:13

DocentI, спасибо за ответ

(4 Янв '13 20:07) putin

А Вы разобрали второй случай?

(4 Янв '13 21:24) DocentI

да разобрала,

(4 Янв '13 21:26) putin

Не поделитесь? Впрочем, мне интересно и самой подумать.

(4 Янв '13 21:55) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×274

задан
3 Янв '13 22:27

показан
606 раз

обновлен
4 Янв '13 21:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru