|
Имеется полином P(z) $%P(z) = z^n+a_1z^{(n-1)}+...+a_n, z,a_i$% -вообще говоря, комплексные и коэффициенты $%a_i$% не обращаются в ноль одновременно. Требуется доказать, что хотя бы в одной точке окружности $%abs(z) = 1$%
справедливо $%abs(P(z))>1$% задан 3 Янв '13 22:27 
putin |
Вопрос был закрыт. Причина - "Вопрос отвечен и ответ принят". Закрывший - DocentI 4 Янв '13 21:54
|
Рассмотрим функцию $%f(z) = {P(z)\over z^{n + 1}}$% и проинтегрируем ее по единичной окружности. Интеграл будет равен $%2\pi i$%. С другой стороны, модуль этого интеграла не превосходит интеграла от модуля f, то есть $%\int |P(z)|dz $%. Предположим, что $%|P(z)|\le 1$% на единичной окружности и хотя бы в одной точке строго меньше 1. Тогда интеграл от модуля строго меньше $%2\pi$%. Пришли к противоречию. Осталось рассмотреть случай, когда модуль многочлена равен 1 на всей окружности. Я пока не додумала этот случай, но, по-видимому он сводится к $%P(z) = z^n$%. отвечен 4 Янв '13 2:05 
DocentI DocentI, спасибо за ответ
(4 Янв '13 20:07)
putin
А Вы разобрали второй случай?
(4 Янв '13 21:24)
DocentI
да разобрала,
(4 Янв '13 21:26)
putin
Не поделитесь? Впрочем, мне интересно и самой подумать.
(4 Янв '13 21:55)
DocentI
|
Что случилось? Решили удалить задачу? Она все еще доступна, если посмотреть историю изменений.
@putin, не стоит удалять текст Вашего вопроса. Если Вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый. Вы также можете закрыть вопрос, указав соответствующую причину.
А зачем? Вопрос интересный. Если хотите, закрою.