Необходимо доказать, что $% A \setminus B=A \setminus (A \cap B) $%.

Вообще равенство достаточно простое (даже очевидное), однако я никак не могу доказать его математически правильно.

Ниже представлен мой вариант, но мне кажется, что я что-то намутил и можно как-то проще:


Попытаемся свести выражение $% A \setminus (A \cap B) $% к $% A \setminus B $%.

Докажем сначала, что $% \forall a \in A \setminus (A \cap B) $% справедливо то, что $% a \notin B \setminus (A \cap B) $%. Другими словами мы пытаемся доказать, что ни один элемент из $% A \setminus (A \cap B) $% не принадлежит той части $% B $%, которая не пересекается с $% A $%.

Пусть это не так. Тогда $% \exists a \in A \setminus (A \cap B) $%, но такой, что $% a \in B \setminus (A \cap B) $%. Но тогда получается, что $% a \in A \cap B $% (по определению действия $% \setminus $%). Значит наше предположение от противного неверно, а значит верно обратное, указанное в абзаце выше.

Мы отсекли часть $% B $%, которая не пересекается с $% A $%. По условию задачи имеем, что $% \forall a \in A \setminus (A \cap B) \Rightarrow a \notin A \cap B $%.

Окончательно имеем, что $% \forall a \in A \setminus (A \cap B) $% справедливо $% (a\notin A \cap B) \wedge (a \notin B \setminus (A \cap B)) $%. Но $% (A \cap B) \cup (B\setminus (A\cap B)) = B $%. Получается, что $% \forall a \in A \setminus (A \cap B) $% справедливо $% a \notin B $%, что и требовалось доказать.


задан 30 Янв '17 13:27

изменен 30 Янв '17 13:37

1

@CMTV: если нужно доказать при помощи логических рассуждений (а не таблиц, не кругов Эйлера, не преобразований), то всё намного проще. Требуется доказать два включения. Слева направо: дано x \in A - B (символику упрощаем). Это значит x \in A & x \notin B. В частности, x \notin AB. Значит, x \in A-AB. Справа налево: дано x \in A-AB. Значит, x \in A & x \notin AB. Значит, x \notin B (в противном случае было бы противоречие). То есть x \in A-B.

Здесь главное, чтобы всё автоматически проходило, и не надо было "думать". Всё должно быть "вынужденным". Ваше рассуждение выглядит очень сложным.

(30 Янв '17 13:44) falcao

@falcao, спасибо. Ваше рассуждение выглядит проще. Я пытался идти таким же путем, однако не додумался, что из x \notin B следует (в частности), что x \notin AB.

А в собственном решении я попытался доказать, что ни один элемент второй части равенства не принадлежит ни AB ни B - AB, а значит не принадлежит и B целиком... Таким образом получается, что в обоих частях равенства стоят эквивалентные выражения.

(30 Янв '17 13:50) CMTV

@CMTV: рассмотрение B-AB я считаю неудачной идеей: это ещё одно "сложное" множество, анализировать которое незачем.

Здесь всё вытекает из вопроса: а что мы хотим получить в итоге? Это к вопросу о переходе к AB. Мы знаем, что x \in A. Что мы хотим? Смотрим на правую часть, и видим, что не хватает x \in AB. Следует ли это из наших данных? Да, причём "одноходово". То есть я показываю, на что надо ориентироваться. "Мат в два хода" -- это уже "сложно", а когда в один -- считается, что это мы сразу видим.

В обеих частях равенства стоят не "эквивалентные", а равные (как множества) выражения.

(30 Янв '17 13:57) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×587
×237
×34

задан
30 Янв '17 13:27

показан
745 раз

обновлен
30 Янв '17 13:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru