|
Найти как можно более простым способом оригинал по изображению $$F(p)=\frac{e^{-k\sqrt p}}{\sqrt p + a}$$ (т. е. без использования формулы обращения, теоремы Эфроса и т. п.). Можно дать ссылку на какой-либо родственный пример. задан 2 Фев '17 5:22 
armez |
|
Думал сначала про свёртку, то что-то там жуткое выходит... покопался в таблицах... Посмотрите здесь - формула 23... а потом тут - формула 5... вроде получается интеграл, который можно преобразовать, проинтегрировать по частям и получить ответ, который у Вас написан... (ну, или похожий... я до ответа на доводил)... Разве что функция ошибок там будет $%\text{erfc}(z)$% - которая интеграл от $%z$% до бесконечности... отвечен 2 Фев '17 23:16 
all_exist Спасибо, 23 - это интересно, хотя неясно, можно ли это получить простыми средствами (слишком похоже на теорему Эфроса). А Erf - это другое обозначение erfc (используется, например, у Краснова).
(3 Фев '17 2:43)
armez
Честно говоря, я не большой специалист в доказательствах формул для преобразования Лапласа... Поковыряюсь в литературе... если что-нибудь найду - напишу...
(3 Фев '17 6:15)
all_exist
У Бейтмена и Эрдейи нашлось соответствие для функции ошибок с именно таким арументом, как в ответе. Это привело к не очень сложным выкладкам. Если будет что-нибудь ещё проще, пишите.
(3 Фев '17 23:25)
armez
|
А оставить ответ в виде свёртки не подойдёт?... там что-то весьма неприятное получится - и вряд ли вычислится явно...
Можно выразить ответ черехз функцию ошибок.
Ну, там и функция ошибок будет... только в свёртке она ещё на что-то неприятное будет умножаться ...
Думается, что сильно это не упростится... хотя внимательно не рассматривал...
В ответе - что-то вроде: $$\frac{e^{-\frac{k^2}{4t}}}{\sqrt{\pi t}} - a e^{a^2 t + k a} {Erf} \left ( a \sqrt{t} + \frac{k}{2 \sqrt{t}} \right)$$