Доказать неравенство $$ \frac{1}{a+b}+\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1} \ge \frac{3}{2}$$ для положительных a и b.

задан 2 Фев '17 12:06

1

Если положить $%a=y/x,b=z/x$%, то получим неравенство Несбита: $$\frac x{y+z}+\frac y{z+x}+\frac z{x+y}\ge\frac32.$$ См. 6 доказательств в https://uk.wikipedia.org/wiki/Нерівність_Несбіта

(2 Фев '17 15:16) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
3

Переобозначим $%b+1=y$%, $%a+1=x$%, $%a+b=z$%, тогда $%1=\frac{x+y-z}2$%, $%a=\frac{x+z-y}2$% и $%b=\frac{y+z-x}2$%, после чего доказываемое неравенство примет вид

$$\frac{y+x-z}{2z}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{y+z-x}{2x} \geq \frac32$$

$$\frac{y+x}{2z}+\frac{x+z}{2y}+\frac{y+z}{2x} \geq 3$$

$$\frac{y+x}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x} \geq 6$$

последнее почти очевидно (сумма трех пар взаимно обратных), да и общеизвестно

ссылка

отвечен 2 Фев '17 12:24

изменен 2 Фев '17 12:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×536

задан
2 Фев '17 12:06

показан
1783 раза

обновлен
2 Фев '17 15:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru