|
Доказать неравенство $$ \frac{1}{a+b}+\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1} \ge \frac{3}{2}$$ для положительных a и b. задан 2 Фев '17 12:06 
aid78 |
|
Переобозначим $%b+1=y$%, $%a+1=x$%, $%a+b=z$%, тогда $%1=\frac{x+y-z}2$%, $%a=\frac{x+z-y}2$% и $%b=\frac{y+z-x}2$%, после чего доказываемое неравенство примет вид $$\frac{y+x-z}{2z}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{y+z-x}{2x} \geq \frac32$$ $$\frac{y+x}{2z}+\frac{x+z}{2y}+\frac{y+z}{2x} \geq 3$$ $$\frac{y+x}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x} \geq 6$$ последнее почти очевидно (сумма трех пар взаимно обратных), да и общеизвестно отвечен 2 Фев '17 12:24 
knop |
Если положить $%a=y/x,b=z/x$%, то получим неравенство Несбита: $$\frac x{y+z}+\frac y{z+x}+\frac z{x+y}\ge\frac32.$$ См. 6 доказательств в https://uk.wikipedia.org/wiki/Нерівність_Несбіта