|
tan[x]=90/19cos[y], tan[y]=90/19cos[z], tan[z]=90/19*cos[x] Найти наибольшее значение модуля синуса суммы углов. Пробовал через замену на тангенс половинного угла, не выходит ничего ... задан 2 Фев '17 21:10 
RaRap1
показано 5 из 10
показать еще 5
|
|
$$a=\cos^2x,b=\cos^2y,c=\cos^2z,k=\frac{90^2}{19^2}.$$ $$1-a=kab,1-b=kbc,1-c=kca,$$ $$b=\frac{1-a}{ka},c=\frac1{ka+1}\Rightarrow 1-\frac{1-a}{ka}=k\cdot\frac{1-a}{ka}\cdot\frac1{ka+1},$$ $$ka^2+a-1=0,$$ $$a=b=c=\frac{\sqrt{4k+1}-1}{2k}=\frac{19}{100}.$$ $$|\cos x|=|\cos y|=|\cos z|=\frac{\sqrt{19}}{10},|\sin x|=|\sin y|=|\sin z|=\frac9{10},$$ $$\sin(x+y+z)=-\sin x\sin y\sin z+\sin x\cos y\cos z+\cos x\sin y\cos z+\cos x\cos y\sin z=...$$ отвечен 3 Фев '17 16:03 
EdwardTurJ 1
@EdwardTurJ: как Вы от 2-й строчки перешли к третьей? Здесь напрашивается следствие a-a^2=b-b^2=c-c^2, которое дальше несложно анализируется, а у Вас какое соображение использовалось?
(3 Фев '17 16:57)
falcao
@falcao: Спасибо, подправил.
(3 Фев '17 18:23)
EdwardTurJ
То есть все углы равны?
(3 Фев '17 20:49)
RaRap1
@RaRap1: нет, равны не углы! Равны их модули синусов и косинусов. Отсюда следует взаимосвязь между углами, но не их равенство. Синусы равны 9/10 или -9/10; аналогично для косинусов. Но углы выражать не надо, так как интересует нас модуль синуса суммы, а он выражен через то, что мы знаем (с точностью до знака). Остаётся перебрать несколько вариантов, варьируя знаки в последнем выражении. Потом ещё надо будет проверить, что значение 0,9 достигается при некоторых x,y,z, но это несложно.
(3 Фев '17 21:04)
falcao
|
Уравнения так записаны, что трудно быть уверенным в правильном восприятии текста. Первое уравнение имеет вид $%\tan x=\frac{90}{19}\cos y$%, или что-то ещё?
Да, уравнения имеют именно такой вид
27/125 у меня получилось
@epimkin: там можно сделать 0,9.
0,9 у меня получилось равны синусы
@epimkin: я не понял Вашего последнего комментария. У Вас тоже получилось 0.9?
sin(x)=sin(y)=sin(z)=0,9 у меня получилось. А в задаче нужно найти синус суммы углов, вот я и находил потом
@epimkin: тут можно знаки менять, и синус суммы тоже такой получится.
Тогда ответьте, пожалуйста, мне интересно обоснование. Когда решал, возникли скользкие вопросы. Решал , как функциональное
@epimkin: у меня полного доказательства пока нет, но пример со значением 0,9 есть.