|
Я вообще не любитель нарочно искать разные дыры и ошибки, но тут наткнулся на одну прямо лоб в лоб. Никак не могу понять, что я делаю не так... Утверждение 1. $% X \times Y = \varnothing $% если $% X = \varnothing \ \lor \ Y = \varnothing $% Докажем от противного. Пусть $% X = \varnothing $%, но $% X \times Y \neq \varnothing $%. Это означает, что $% \exists (x,y)\in X\times Y \Rightarrow x\in X \ \land \ y\in Y $%. Но в $% X $% нет элементов. Противоречие. Значит исходное утверждение верно. $% \blacksquare $% Следствие. $% X \times Y = Y\times X $% если $% X = \varnothing \ \lor \ Y = \varnothing $% Доказательство: $% (X\times Y = \varnothing) \wedge (Y\times X = \varnothing) $% следовательно имеем $% \varnothing = \varnothing $%. $% \blacksquare $% Утверждение 2. $% A\times B=B\times A \Rightarrow A=B $% Из равенства $% A\times B = B\times A $% имеем, что $% \forall (a,b)\in A\times B \Rightarrow (a,b)\in B\times A \Rightarrow a\in A,B \wedge b \in A,B $%. При декартовом произведении упорядоченные пары берутся по всем элементам $% A $% и $% B \Rightarrow A=B \ \blacksquare $% Пусть тогда $% A=\varnothing $%. Но тогда получается, что из $% A\times B= B\times A $% следует, что $% A=B $%, но $% B $% ведь не пустое множество! задан 3 Фев '17 13:10 
CMTV |
|
Из условия AxB=BxA на самом деле не следует A=B в общем случае. Это верно при непустых A,B. Если хотя бы одно из множеств пусто, то декартовы произведения будут пусты, но сами множества могут быть не равны (одно пустое, другое непустое). Проследим процесс, как мы получаем A=B. Это означает, что всякий элемент первого множества принадлежит второму, и наоборот. Поэтому рассуждение начинаем со слов "пусть a принадлежит A". Здесь не важно, пусто ли A, и есть ли такой элемент. Нужно уметь доказать, что он принадлежит B. Как мы это доказываем? Через рассмотрение упорядоченной пары (a,b). Которая, понятное дело, принадлежит AxB, равному BxA, откуда первый элемент будет принадлежать B. Но есть ли такая упорядоченная пара хотя бы одна? Да, если B непусто. И нет, если B пусто. В первом случае рассуждение проходит, и A<=B (подмножество). Во втором -- нет, и не может проходить. Таким образом, доказательство включения первого множества во второе основано на допущении о непустоте второго множества. А обратное включение мы можем доказать при допущении, что A непусто. Получается, что основное содержание верно, но не всегда, а при непустых A, B. отвечен 3 Фев '17 14:21 
falcao Спасибо большое за пояснения!
(3 Фев '17 15:02)
CMTV
|