Я вообще не любитель нарочно искать разные дыры и ошибки, но тут наткнулся на одну прямо лоб в лоб. Никак не могу понять, что я делаю не так...

Утверждение 1.

$% X \times Y = \varnothing $% если $% X = \varnothing \ \lor \ Y = \varnothing $%

Докажем от противного. Пусть $% X = \varnothing $%, но $% X \times Y \neq \varnothing $%.

Это означает, что $% \exists (x,y)\in X\times Y \Rightarrow x\in X \ \land \ y\in Y $%. Но в $% X $% нет элементов. Противоречие. Значит исходное утверждение верно. $% \blacksquare $%

Следствие.

$% X \times Y = Y\times X $% если $% X = \varnothing \ \lor \ Y = \varnothing $%

Доказательство: $% (X\times Y = \varnothing) \wedge (Y\times X = \varnothing) $% следовательно имеем $% \varnothing = \varnothing $%. $% \blacksquare $%

Утверждение 2.

$% A\times B=B\times A \Rightarrow A=B $%

Из равенства $% A\times B = B\times A $% имеем, что $% \forall (a,b)\in A\times B \Rightarrow (a,b)\in B\times A \Rightarrow a\in A,B \wedge b \in A,B $%. При декартовом произведении упорядоченные пары берутся по всем элементам $% A $% и $% B \Rightarrow A=B \ \blacksquare $%


Пусть тогда $% A=\varnothing $%. Но тогда получается, что из $% A\times B= B\times A $% следует, что $% A=B $%, но $% B $% ведь не пустое множество!

задан 3 Фев '17 13:10

изменен 3 Фев '17 13:12

10|600 символов нужно символов осталось
1

Из условия AxB=BxA на самом деле не следует A=B в общем случае. Это верно при непустых A,B. Если хотя бы одно из множеств пусто, то декартовы произведения будут пусты, но сами множества могут быть не равны (одно пустое, другое непустое).

Проследим процесс, как мы получаем A=B. Это означает, что всякий элемент первого множества принадлежит второму, и наоборот. Поэтому рассуждение начинаем со слов "пусть a принадлежит A". Здесь не важно, пусто ли A, и есть ли такой элемент. Нужно уметь доказать, что он принадлежит B. Как мы это доказываем? Через рассмотрение упорядоченной пары (a,b). Которая, понятное дело, принадлежит AxB, равному BxA, откуда первый элемент будет принадлежать B. Но есть ли такая упорядоченная пара хотя бы одна? Да, если B непусто. И нет, если B пусто. В первом случае рассуждение проходит, и A<=B (подмножество). Во втором -- нет, и не может проходить.

Таким образом, доказательство включения первого множества во второе основано на допущении о непустоте второго множества. А обратное включение мы можем доказать при допущении, что A непусто. Получается, что основное содержание верно, но не всегда, а при непустых A, B.

ссылка

отвечен 3 Фев '17 14:21

Спасибо большое за пояснения!

(3 Фев '17 15:02) CMTV
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×545
×221
×31

задан
3 Фев '17 13:10

показан
466 раз

обновлен
3 Фев '17 15:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru