Есть ли какой-то простой способ решить уравнение типа $%|z|-z=2+i$%? Или только все расписывать через $%z=x+iy$% и возводить в квадрат? И если возводить в квадрат, то всегда ли можно это делать в комплексном случае?

задан 6 Фев '17 0:55

10|600 символов нужно символов осталось
3

Я бы решал так: пусть $%z=x+iy$% в алгебраической форме. Тогда $%|x+iy|=z+2+i=x+2+(y+1)i$%. Модуль -- число вещественное, откуда $%y=-1$%. Теперь $%|x-i|=x+2$% даёт $%\sqrt{x^2+1}=x+2$%, то есть это вещественное уравнение. Оно равносильно системе из двух условий: $%x^2+1=(x+2)^2=x^2+4x+4$% и $%x+2\ge0$%. Следовательно, $%x=-\frac34$% из линейного уравнения, и неравенству это число удовлетворяет. Решение в комплексных числах получается единственное: $%z=-\frac34-i$%.

В комплексном случае, как и в вещественном, уравнение $%z_1^2=z_2^2$% равносильно $%z_1=\pm z_2$%, но здесь сама эта проблема не возникает.

ссылка

отвечен 6 Фев '17 1:15

А если не заметить, что $%y=-1$%, можно перенести все без корня в одну сторону и возвести в квадрат? Мне не нравится то что вещи вроде (...)i>0 писать нельзя, а в вещественном случае в квадрат можно возводить только неотрицательные части..

(6 Фев '17 11:13) cherepaha

@cherepaha: принципиальные вещи (вещественность модуля) надо замечать. Мы же так постоянно делаем, сравнивая два комплексных числа. Число |x+iy| имеет вид r+0i, и мимо этого пройти нельзя. Возведение в квадрат здесь ничего не даёт -- получатся какие-то сложные уравнения с лишними корнями, так как свойством i будет обладать -i (в квадрате равно -1).

(6 Фев '17 12:35) falcao

Чтобы не просто возводить в квадрат, порой полезно помнить, что $%|z|^2 = z\cdot \bar{z}$%...

(6 Фев '17 12:41) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
1

В качестве варианта... можно использовать геометрический смысл сложения - аналогия с векторами...

Вспоминаем правило параллелограмма...
Поскольку одно слагаемое в левой части является действительным - $%|z|$%, а, кроме того, оба слагаемые имеют одинаковый модуль... то строим ромб с диагональю $%2+i$% и стороной, параллельной действительной оси...

Дальше, проводя серединный перпендикуляр (вторую диагональ), получаем ответ...

ссылка

отвечен 6 Фев '17 2:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,868
×410
×317

задан
6 Фев '17 0:55

показан
385 раз

обновлен
6 Фев '17 12:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru