Можно ли на координатной прямой отметить 5 точек таким образом, чтобы каждая точка, кроме двух крайних, находилась ровно посередине между какими-то двумя отмеченными, и при этом все отрезки, внутри которых нет отмеченных точек, имели различные длины?

задан 6 Фев '17 12:00

Вроде бы почти очевидно, что нельзя, но надо продумать короткое доказательство, чтобы не перебирать много случаев.

(6 Фев '17 12:39) falcao

@falcao , в этом-то вся и загвоздка...

(6 Фев '17 12:45) Машакит Хилу...
10|600 символов нужно символов осталось
2

Я не вижу проблемы в переборе трех случаев. Пусть точки A1-A5 слева направо. Отражение точки Ai относительно Aj обозначим S(Ai,Aj). Так как S(A1,A2) должно совпасть с одной из точек, причем не с A3, то это либо A4, либо A5. Во втором случае A2 - середина отрезка A1A5. Аналогично, S(A5,A4) - либо A2, либо A1, и во втором случае A4 - середина отрезка A1A5. Случаи с серединой симметричны, поэтому без ограничения общности рассмотрим только один из них: A2 - середина A5, тогда S(A5,A4)=A2, поэтому A4 делит отрезок в отношении 3:1, и тут очевидно, что A3, лежащая на отрезке A2A4, не может является серединой для A1A4, а какой-либо еще серединой она не бывает вообще.

Оставшийся случай - ни A2, ни A4 не середина отрезка A1A5/ То есть S(A1,A2)=A4, а S(A5,A4)=A2. Это означает, что A2 и A4 делят отрезок на три равных части. Теперь ясно, что A3, лежащая в средней трети, может быть серединой только для A1A5, но тогда отрезки A2A3 и A3A4 тоже равны, противоречие.

ссылка

отвечен 6 Фев '17 14:57

@knop , большое спасибо!

(6 Фев '17 18:20) Машакит Хилу...
10|600 символов нужно символов осталось
2

Будем говорить про номера точек, имея в виду сами эти точки. Слева направо нумеруем их как 1, 2, 3, 4, 5. По условию, i+1 не является серединой отрезка с концами i, i+2. Поэтому отмеченная середина может быть только у 14, 15, 25 -- всего три варианта. Отмеченных точек кроме концов также три. Поэтому 2, 3, 4 -- середины отрезков с указанными выше концами в каком-то порядке. Число 2 не может быть серединой 25. Если оно является серединой 15, то у 14 середина находится левее, и она не отмечена. Значит, 2 есть середина 14. Симметрично, 4 есть середина 25 (перенумерация в обратном порядке). Тогда 3 -- середина 15, как единственная возможность.

Теперь перейдём к числам $%x_1 < \cdots < x_5$%. Из сказанного выше, $%x_1+x_4=2x_2$%, $%x_2+x_5=2x_4$%, $%x_1+x_5=2x_3$%. Из этих равенств следует $%x_2+x_4=x_1+x_5=2x_3$%, то есть $%x_4-x_3=x_3-x_2$%. Противоречие.

ссылка

отвечен 6 Фев '17 15:24

@falcao , большое спасибо!

(6 Фев '17 18:20) Машакит Хилу...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,071
×1,039
×337
×209
×35

задан
6 Фев '17 12:00

показан
597 раз

обновлен
6 Фев '17 18:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru