Помогите решить систему уравнений $$\begin{cases}\sqrt{x+7}-\sqrt{y-9}=2,\\\sqrt{y+7}-\sqrt{x-9}=2.\end{cases}$$

задан 4 Янв '13 18:59

изменен 5 Янв '13 19:31

Anatoliy's gravatar image


12.7k227

10|600 символов нужно символов осталось
4

Сделаем замену: $$u=x-1$$ $$v=y-1$$ $$\begin{cases} \sqrt{u+8}-\sqrt{v-8}=2\\ \sqrt{v+8}-\sqrt{u-8}=2 \end{cases}$$ $$\sqrt{v+8}-\sqrt{u-8}=\sqrt{u+8}-\sqrt{v-8}$$ Возведем обе части в квадрат: $$v+8+u-8-2\sqrt{v+8}\sqrt{u-8}=u+8+v-8-2\sqrt{u+8}\sqrt{v-8}$$ $$\sqrt{v+8}\sqrt{u-8}=\sqrt{u+8}\sqrt{v-8}$$ $$(v+8)(u-8)=(u+8)(v-8)$$ $$uv+8u-8v-64=uv-8u+8v-64$$ $$u=v$$ Подставим в первое уравнение: $$\sqrt{u+8}-\sqrt{u-8}=2$$ $$u+8+u-8-2\sqrt{u+8}\sqrt{u-8}=4$$ $$\sqrt{u^2-64}=u-2$$ $$u^2-64=u^2-4u+4$$ $$u=17$$ Проверим (т.к. возведение в квадрат могло дать лишние корни): $$\sqrt{17+8}-\sqrt{17-8}=\sqrt{25}-\sqrt9=5-3=2$$ Обратная замена: $$x=u+1=18$$ $$y=v+1=18$$

ссылка

отвечен 4 Янв '13 20:01

Спасибо) Все так гениально просто)

(4 Янв '13 20:29) Ира

Желаю успехов, но в решении есть ненужные выкладки.

(4 Янв '13 20:40) Anatoliy

Это какие, например? Я тоже иногда люблю написать всё в две строчки, а 20 промежуточных действий пропустить, потому что они "элементарные" и их в уме можно сделать. Но не все же люди так могут.

(5 Янв '13 14:29) chameleon

Вот, например, некоторые из них: 1) Зачем было вводить дополнительные переменные? 2) Зачем такое "тяжелое" избавление от иррациональностей? Что касается промежуточных действий в моем решении, то для хорошего школьника они очевидны. Первое уравнение - сумма уравнений системы; второе сумма уравнений этой же системы, умноженных на сопряженные выражения к левым частям. Затем в третьей системе мы имеем уравнение, в котором избавиться от иррациональности несложно (один из корней нужно перенести в правую часть уравнения). Вышеприведенное решение не заслуживает высокой оценки. Извините за искренность.

(5 Янв '13 15:17) Anatoliy

В предыдущем комментарии исчерпался лимит символов. Мы понимаем, что в математике есть задачи очень сложного уровня. И в этом случае приходиться "кувыркаться". чтобы "доползти", но затем мы стараемся как-то исправить "кувырканье" (придать решению лучший вид). На это стоит обращать внимание школьников. Каждый из нас должен учиться на чужих и своих ошибках. Спасибо за Ваш вопрос, заданный в комментариях. Надеюсь, что не привнес Вам отрицательных эмоций, а если так, то еще раз извините.

(5 Янв '13 15:39) Anatoliy

Я вот думаю, что вообще не надо писать полных решений! Посмотрите, что получилось с физтеховской онлайн-олимпиадой! Нами просто воспользовались... (((

(5 Янв '13 17:18) DocentI

Извините, но хочу заметить, что мне ближе и понятней было решение chameleon, вернее достаточно было подсказки с заменой с дополн. переменными (в этом примере я что-то тупикнула). Именно таким способом нас учат в школе. А что касается "красоты" решения или компактности, то это, извините, не мне судить. Всем еще раз большое спасибо, что ответили на мой вопрос, да еще различными способами))

(9 Янв '13 3:19) Ира
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$\begin{cases}\sqrt{x+7}-\sqrt{y-9}=2,\\\sqrt{y+7}-\sqrt{x-9}=2,\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{x+7}+\sqrt{x-9}=\sqrt{y+7}+\sqrt{y-9},\\\sqrt{x+7}+\sqrt{x-9}+\sqrt{y+7}+\sqrt{y-9}=16,\end{cases}\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{x+7}+\sqrt{x-9}=\sqrt{y+7}+\sqrt{y-9},\\\sqrt{x+7}+\sqrt{x-9}=8,\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}8=\sqrt{y+7}+\sqrt{y-9},\\x=18,\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}y=18,\\x=18. \end{cases}$$

ссылка

отвечен 4 Янв '13 20:01

конечно, ваше решение -- строго и красиво,спасибо!

(6 Янв '13 1:44) нона

@она, непонятно, к кому Вы обращаетесь. Это не ответ, это комментарий!

(6 Янв '13 11:13) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Мне больше нравится так $$\left\{\begin{matrix} u-v=2\\ z-t=2\\ z^2-v^2=16\\ u^2-t^2=16 \end{matrix}\right.$$ Система легко решается подстановкой первой пары уравнений во вторую: $$\left\{\begin{matrix} v^2+4v-t^2=12\\ t^2+4t-v^2=12 \end{matrix}\right.$$, откуда $$\left\{\begin{matrix} t=3\\ v=3\\ u=5\\ z=5 \end{matrix}\right.$$ Далее легко получается ответ.

ссылка

отвечен 6 Янв '13 2:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

Из двух урвнений системы следует, что $%\sqrt{x+7}-\sqrt{y-9}=\sqrt{y+7}-\sqrt{x-9}\Leftrightarrow \sqrt{x+7}+\sqrt{x-9}=\sqrt{y+7}+\sqrt{y-9}.$% Так как Функция $%f(x)=\sqrt{x+7}+\sqrt{x-9}$% возрастает как сумма двух возрастающих функций, значит $%f(x)=f(y)\Rightarrow x=y.$% Получаем уравнение $%\sqrt{x+7}-\sqrt{x-9}=2,$% решение которой найти очень просто $%x=18,$% и так $%x=y=18$%. Ответ $%(18;18).$%

ссылка

отвечен 6 Янв '13 11:21

изменен 6 Янв '13 15:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×273

задан
4 Янв '13 18:59

показан
1659 раз

обновлен
9 Янв '13 3:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru