олимпиада - Расчет силы тока

Токи в каждой спице очевидны: 10 ампер, 10 ампер и 5 ампер. Поскольку сопротивлениями на перемычках можно пренебречь, источник напряжения подаст в систему 25 ампер. Как бы ни были распределены токи на перемычках, они должны создавать согласованные уровни напряжения в узлах $%A$% и $%B$%. Иначе говоря, если рассчитывать напряжения по двум дорогам к одному узлу, напряжение в узле окажется одно и то же. Это значит, что разность напряжений, создаваемая на дальней перемычке током $%I_{AB}$%, протекающим через неё, должна быть равна разности напряжений на узлах этой перемычки, создаваемых двумя токами от источника $%I_A$% и $%I_B$%.

$$I_{A}2r-I_{B}r = I_{AB}2r$$ $$2I_{A}-I_{B}=2I_{AB}$$

(Я обозначил через $%r$% пренебрежимо малое сопротивление двойной перемычки; таким образом, аналогичное сопротивление стандартной перемычки равно $%2r$%.) Если обозначить через $%I$% наименьший из токов по спицам, то взятый в направлении вверх ток по искомой перемычке можно выразить нижеследующим образом, учитывая тот факт, что для каждого узла сумма входящих токов всегда равна сумме исходящих токов.

$$I_{AB}=2I-I_{A}=I_{B}-I$$

Отсюда можно вывести, во-первых, дополнительное подтверждение, что $%I_{B}+I_{A}=3I$%. (Ток, который надо распределить между двумя ветвями, — это 15 ампер, как нетрудно догадаться исходя из факта, что источник напряжения подаёт в систему 25 ампер.) Во-вторых, за счёт двух способов выражения $%I_{AB}$% из предыдущего уравнения получается система уравнений, при помощи которой нетрудно выяснить пропорцию между $%I_{A}$% и $%I_{B}$%.

$$ \begin{cases} 2I_{A}-I_{B}=2I_{B}-2I \\ 2I_{A}-I_{B}=4I-2I_{A} \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 3I_{B}-2I_{A}=2I \\ 4I_{A}-I_{B}=4I \end{cases} $$ $$6I_{B}-4I_{A}=4I_{A}-I_{B}$$ $$7I_{B}=8I_{A}$$

Учитывая то, что сказано о сумме двух токов, узнаём, что $%I_{A}=7А$%, $%I_{B}=8А$%, $%I_{AB}=3А$%.

Ответ — $%3$% ампер.