Длины оснований равнобедренной трапеции находятся в отношении 5:12, а длина высоты трапеции равна 17 см. Найдите длину радиуса окружности, описанной около трапеции, если известно, что длина средней линии трапеции равна длине её высоты. Какой ответ у вас вышел?

задан 11 Фев '17 11:46

1

Проведём диагонали. Возникнут два подобных треугольника, у которых высоты, опущенные из точки пересечения, относятся как 5:12, а в сумме они равны 17. Значит, это 5 и 12. Сумма длин оснований равна 2*17=34, то есть это 10 и 24. Тогда боковая сторона равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 17 и (24-10)/2=7. Это 13sqrt(2). Угол между диагональю и основанием равен 45 градусам. Отсюда по теореме синусов получается R=13.

(11 Фев '17 16:38) falcao

Почему высоты, опущенные из точки пересечения, относятся как 5:12? У меня получилось так: (17x)/2=17, получается x=2. Значит основания это 10 и 24. Тогда радиус описанной окружности равен 24/2=12.

(12 Фев '17 20:14) крамола

Если AB и CD -- основания трапеции, и O -- точка пересечения диагоналей AC и BD, то AOB подобен COD. Высоты этих треугольников, опущенные из O на основания, относятся как AB:CD=5:12, а потому равны 5 и 12, так как их сумма равна 17. То, что основания равны 10 и 24, тоже верно. Но откуда у Вас взялось 12? Это было бы так, если бы сторона CD была диаметром, но это не диаметр. Тут для нахождения радиуса надо теорему синусов применять.

(12 Фев '17 20:22) falcao

Да, здесь ведь диаметром будет диагональ. А почему угол между диагональю и основанием равен 45? Если провести диагональ, то получится два прямоугольных треугольника, но они ведь не равнобедренные. Разве высота в треугольнике, образованном двумя диагоналями, будет делить основание поровну?

(14 Фев '17 20:06) крамола

@крамола: диагональ вписанной трапеции диаметром в принципе быть не может. То, что угол равен 45 градусам, у меня объяснено выше. Это следует из того, что высоты треугольников AOB, CОD равны 5 и 12, как и половины оснований. Из этого следует, что оба треугольника равнобедренные прямоугольные.

(14 Фев '17 20:21) falcao

А что же здесь будет диаметром окружности? Почему диагональ трапеции не может быть диаметром?

(15 Фев '17 19:28) крамола

@крамола: диаметр окружности ни с какими другими "приметными" линиями здесь не совпадает. И его не надо выделять геометрически, так как его длина вычисляется через теорему синусов. Нам достаточно знать одну сторону (боковую) и синус соответствующего вписанного угла.

На диаметр окружности опирается прямой угол. Поэтому вместо трапеции получится прямоугольник.

(15 Фев '17 21:03) falcao

Можно решить задачу еще одним способом, через теорему Пифагора. Из центра окружности проводим радиусы к точкам авсд, основания мы уже нашли. Проводим высоты в получившихся треугольниках, это будет x и 17-x и записываем теорему для обоих треугольников. Находим x и из любого треугольника находим радиус, он получается равным 13. Верно же все?

(18 Фев '17 11:22) крамола

@крамола: да, это один из распространённых способов. Конечно, так решать можно. Но я предпочитаю теорему синусов. Когда известен угол, опирающийся на хорду, длину которой мы знаем, это самый быстрый из способов.

(18 Фев '17 15:06) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×521
×95

задан
11 Фев '17 11:46

показан
1227 раз

обновлен
18 Фев '17 15:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru