$$\begin{cases}\log_{2}{(xy)}*log_{4x}{y}=2\\8x-y=1\end{cases}$$

задан 12 Фев '17 10:57

изменен 12 Фев '17 13:45

Что-то у меня есть сомнения в правильности записи условия...

Каков первоисточник?

(12 Фев '17 12:00) falcao

@falcao задание 13 из варианта ЕГЭ.

(12 Фев '17 13:02) mihmah

@mihmah: я хотел сверить условие по какому-то источнику. Бывает так, что при копировании, сканировании и т.п. появляются искажения. В том виде, как здесь написано, есть один корень, но он "плохой".

(12 Фев '17 13:06) falcao

А его кроме как численно нельзя найти, получается?

(12 Фев '17 13:17) Williams Wol...

@Williams Wol...: есть два варианта. Первый: в условии опечатка. Второй: в условии всё верно, но корень выражается каким-то очень "хитрым" образом. Последнее выглядит как-то не очень правдоподобно.

Ещё могло быть так, что надо не решить, а найти число решений. Тогда с помощью каких-то оценок можно, наверное, доказать, что решение всего одно.

(12 Фев '17 13:29) falcao

@Williams Wol...: придумать можно всё что угодно. Я могу рассмотреть какое-то "причудливое" уравнение, которое из общих соображений будет иметь одно решение, зависящее от параметра. При этом оно никак не выражается явно. Тогда вводим особую функцию, и называем её на выбор -- хоть "фальконианом", хоть "вольфрамианом" :) Но какого-либо серьёзного смысла в такой деятельности не просматривается.

(12 Фев '17 13:45) falcao

@falcao точно, в условие вкралась ошибка. Исправил.

(12 Фев '17 13:45) mihmah

@mihmah: это другое дело. В таком виде всё просто решается.

(12 Фев '17 14:08) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Из условия ясно, что $%x > 0$%, $%y > 0$%, $%x\ne\frac14$%, и тогда $%y\ne1$%. Также мы знаем, что $%8x-1=y > 0$%, откуда $%x > \frac18$%.

С использованием простейших свойств логарифмов, уравнение можно переписать в виде $%(\log_2x+\log_2y)\cdot\frac{\log_2y}{2+\log_2x}=2$%. Введём обозначения $%u=\log_2x$%, $%v=\log_2y$%. После домножения на отличный от нуля знаменатель получится равновильное условие $%(u+v)v=2(2+u)$%. Оно приводит к разложению на множители: $%v^2-4+uv-2u=(v-2)(u+v+2)=0$%. Рассматриваем два случая.

Если $%v=2$%, то $%y=2^v=4$%, $%x=\frac{1+y}8=\frac58$%. Можно на всякий случай сделать проверку, хотя она здесь не обязательна.

Если $%u+v=-2$%, то $%xy=2^{u+v}=\frac14$%. Подставляя $%y=8x-1$%, имеем квадратное уравнение $%8x^2-x-\frac14=0$%. Его корни равны $%x=\frac14$% и $%x=-\frac18$%. Ни один из них не подходит ввиду указанных в начале ограничений. Поэтому решение всего одно: $%(x,y)=(\frac58;4)$%.

ссылка

отвечен 12 Фев '17 14:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×299
×246

задан
12 Фев '17 10:57

показан
464 раза

обновлен
12 Фев '17 14:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru