Как найти пределы последовательностей при $$n \rightarrow \infty $$ 1) $$ x_{n} = \frac{ n^{2}+ 3^{n} }{n+ 3^{n+2} } $$

2) $$ x_{n} = \sqrt[n]{n+5} $$

3) $$ x_{1} = \frac{1}{2}; x_{n+1}=2 x_{n} -x_{n}^2 $$

задан 5 Янв '13 14:02

10|600 символов нужно символов осталось
0

1)$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2+3^n}{n+3^{n+2}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3^n(\frac{n^2}{3^n}+1)}{3^n(\frac{n}{3^n}+9)}=\frac{1}{9}.$$

2) Этот предел уже был. Воспользуемся известным пределом $$\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}=1,$$ тогда $$\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n+5}=\lim_{n\rightarrow \infty}(\sqrt[n+5]{n+5})^{\frac{n+5}{n}}=1.$$

3) Все члены последовательности не больше $%1,2x_n-x_n^2\le1\Leftrightarrow(x_n-1)^2\ge0$% и больше нуля (индукция),$%x_n>0\Rightarrow x_{n+1}=2x_n-x_n^2>0-$%свойство квадратичной функции $%y=2x-x^2$%. Последовательность неубывающая $%x_{n+1}-x_n=x_n-x_{n+1}^2\ge0$%. Из всего сказанного, следует, что последовательность имеет предел. Если его обозначить через $%a,$% то $%a=2a-a^2;a=1.$%

ссылка

отвечен 5 Янв '13 14:52

изменен 5 Янв '13 14:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×638
×276

задан
5 Янв '13 14:02

показан
1858 раз

обновлен
5 Янв '13 14:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru