|
Как найти пределы последовательностей при $$n \rightarrow \infty $$ 1) $$ x_{n} = \frac{ n^{2}+ 3^{n} }{n+ 3^{n+2} } $$ 2) $$ x_{n} = \sqrt[n]{n+5} $$ 3) $$ x_{1} = \frac{1}{2}; x_{n+1}=2 x_{n} -x_{n}^2 $$ задан 5 Янв '13 14:02 
redfox94 |
|
1)$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2+3^n}{n+3^{n+2}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3^n(\frac{n^2}{3^n}+1)}{3^n(\frac{n}{3^n}+9)}=\frac{1}{9}.$$ 2) Этот предел уже был. Воспользуемся известным пределом $$\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}=1,$$ тогда $$\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n+5}=\lim_{n\rightarrow \infty}(\sqrt[n+5]{n+5})^{\frac{n+5}{n}}=1.$$ 3) Все члены последовательности не больше $%1,2x_n-x_n^2\le1\Leftrightarrow(x_n-1)^2\ge0$% и больше нуля (индукция),$%x_n>0\Rightarrow x_{n+1}=2x_n-x_n^2>0-$%свойство квадратичной функции $%y=2x-x^2$%. Последовательность неубывающая $%x_{n+1}-x_n=x_n-x_{n+1}^2\ge0$%. Из всего сказанного, следует, что последовательность имеет предел. Если его обозначить через $%a,$% то $%a=2a-a^2;a=1.$% отвечен 5 Янв '13 14:52 
Anatoliy |