Есть последовательность x _0,x _1,x _2,x _3,... . x _0 =1 и x _n=x _n-1 * (4 - 2/n) для n>=1. Доказать что для n>=1

a) x _n натуральное число.

b)Каждое простое число p для которого n < p <=2n является делительом x _n.

c)Если n простое число, тогда x _n-2 можно делить на n

задан 15 Фев '17 16:17

10|600 символов нужно символов осталось
0

a) Это уже разбирали раньше, доказав, что $%x_n=C_{2n}^n$%.

б) Для числа сочетаний имеет место формула $%C_{2n}^n=\frac{(2n)!}{n!^2}=\frac{2n(2n-1)...(n+1)}{n!}$%. Если простое число удовлетворяет неравенствам $%n < p\le2n$%, то оно встречается в качестве сомножителя в числителе, а в знаменателе его нет. Значит, при сокращении дроби до целого числа сомножитель $%p$% останется.

в) Если $%n=p$% простое, то $%x_p=C_{2p}^p=\frac{2p(2p-1)...(p+1)}{p(p-1)...1}=\frac{2(2p-1)...(p+1)}{(p-1)!}$% после сокращения на $%p$% в числителе и знаменателе. Заметим, что $%p+k$% сравнимо с $%k$% по модулю $%p$%, откуда $%(p+1)(p+2)...(2p-1)$% сравнимо с $%1\cdot2\cdot...\cdot(p-1)=(p-1)!$% по модулю $%p$%. Представим числитель дроби как $%(p-1)!+pM$% для некоторого целого $%M$%. Тогда $%x_p-2=\frac{2(p-1)!+2pM}{(p-1)!}-2=\frac{2pM}{(p-1)!}$%. Это целое число, так как в левой части находится целое число в силу пункта а). В числителе есть множитель $%p$%, и он не сократится ни с чем в знаменателе, то есть $%x_p-2$% делится (нацело) на $%p$%.

ссылка

отвечен 15 Фев '17 20:30

Можете пожалуйста подробно обьяснить зто.Большое спасибо. Заметим, что p+k сравнимо с k по модулю p, откуда (p+1)(p+2)...(2p−1) сравнимо с 1⋅2⋅...⋅(p−1)=(p−1)! по модулю p.

(15 Фев '17 20:56) Artur8488

@Artur8488: я использовал известные свойства сравнений по модулю. Это есть в учебниках по теории чисел. Если Вы с этой техникой не знакомы, то можете почитать соответствующие параграфы в книжках. Но я кратко могу объяснить самое основное. Если x-y делится на p, то числа x и y называются сравнимыми по модулю p. Будем коротко писать x~y. Такие "равенства" можно почленно складывать и перемножать. Первое очевидно. Второе доказывается так: если a~b, c~d, то ac-bd=(a-b)c+b(c-d) делится на p, т.е. ab~cd. Ясно, что p+1~1, p+2~2, ... , p+(p-1)~p-1. Отсюда (p+1)(p+2)...(2p-1)~(p-1)!.

(15 Фев '17 21:47) falcao

Спасибо.Понятно.Но сейчас я как-то не понимаю как этот шаг происходит. Представим числитель дроби как (p−1)!+pM для некоторого целого M. Как же (p−1)!+pM = (2p-1)...(p+1)? Простите.

(16 Фев '17 12:37) Artur8488

@Artur8488: выше было сказано, что разность двух чисел (2p-1)...(p+1) и (p-1)! делится на p. Это значит, что она представима в виде pM, где M -- натуральное число. Это следует из определения делимости.

(16 Фев '17 12:41) falcao

Спасибо.Думаю, что сейчас понимаю)

(16 Фев '17 12:47) Artur8488
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×287
×112

задан
15 Фев '17 16:17

показан
366 раз

обновлен
16 Фев '17 12:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru