Есть описанный четырехугольник A_1A_2A_3A_4, центр окружности О.Потом проведём отрезки OA_1, OA_2, OA_3, OA_4. Потом проведём прямые p_1, p_2, p_3, p_4 так чтобы например угол OA_1B_1 была равен 90* где B_1 точка на p_1. Тогда точки пересечения p_1, p_2, p_3, p_4 зададут новый четырехугольник B_1B_2B_3B_4.

Нужно доказать, что диагонали B_1B_2B_3B_4 пересекаются в точке O.

задан 16 Фев '17 18:54

изменен 17 Фев '17 10:36

Орфографические замечания:

проведём отрезки

проведём прямые

угол (без мягкого знака!) равен (слово мужского рода) 90 градусам

точки пересечения зададут новый четырёхугольник

диагонали пересекаются

Также неясно, что такое точка M, как заданы прямые p_1,...,p_4, и что такое g_1.

(16 Фев '17 19:19) falcao

Простите пожалуйста, я не русский. Но спасибо) Сейчас я исправил там г и п, о и м. А p_1,...,p_4 такие прямые, что делают 90* с OA_1, OA_2, OA_3, OA_4.

(16 Фев '17 19:25) Artur8488

Простите, а что-то еще непонятно?

(16 Фев '17 23:47) Artur8488

@Artur8488: $%p_1\perp OA_1,A_1\in p_1$%?

(17 Фев '17 0:11) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: я тоже в конечном счёте так понял.

@Artur8488: поскольку пишете Вы по-русски, то в Ваших интересах учитывать сведения о языковых ошибках и вносить исправления.

(17 Фев '17 0:30) falcao

@EdwardTurJ: Да, правильно. @falcao: Все исправлено.

(17 Фев '17 10:37) Artur8488
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Не обращайте внимание на координатную сетку на рисунке... сперва решал в терминах комплексных чисел, но потом осеменило геометрическим решением... а перерисовывать картинку было уже лень...

Пусть $%C_1,\,C_2,\,C_3,\,C_4$% - точки касания окружности в четырёхугольник $%A_1A_2A_3A_4$%... Рассмотрим кусок нашей фигуры изображённый на рисунке...

Понятно, что $%OC_2A_2C_3$% - вписанный четырёхугольник, причём $%OA_2$% - биссектриса и диаметр... следовательно, $%B_1A_2$% - касательная к описанной около этого четырёхугольника окружности... Вспоминая про угол между хордой и касательной, делаем вывод, что $%\angle B_1A_2C_2 =\angle A_2OC_2 =\angle A_2OC_3$% ...

Из аналогичных рассуждений делаем вывод, что $%\angle B_1A_1C_2 =\angle A_1OC_1 =\angle A_1OC_2$% ...

Дальше замечаем, что $%OA_1B_1A_2$% - тоже вписанный четырёхугольник... следовательно, $%\angle B_1A_1A_2 =\angle B_1OA_2$% и $%\angle B_1A_2A_1 =\angle B_1OA_1$% ...

Итого, вне зависимости от расположения точки $%C_2$% отрезок $%OB_1$% будет биссектрисой угла $%C_1OC_3$%... аналогично $%OB_3$% будет биссектрисой угла $%C_1OC_3$%... то есть $%B_1,\;O,\;B_3$% - лежат на одной прямой...

alt text

ссылка

отвечен 17 Фев '17 7:14

изменен 17 Фев '17 17:54

Спасибо, а какая это теорема о угле между хордой и касательной?

(17 Фев '17 10:33) Artur8488

Угол между хордой и касательной равен половине дуги, находящейся внутри угла... то есть равен вписанному углу, который опирается на хорду...

(17 Фев '17 10:50) all_exist

@all_exist: А почему OB4 будет биссектрисой угла C1OC3? "аналогично OB4 будет биссектрисой угла C1OC3..."

(17 Фев '17 16:45) Artur8488

@Artur8488: луч OC2 делит угол C1OC3 на две части, каждая из которых состоит из одной доли красного цвета и одной доли синего цвета. А углы, помеченные красным цветом, равны между собой -- это обосновано в тексте. То же для синего цвета.

(17 Фев '17 17:16) falcao

@falcao: Не луч OC2, а OB1. Я хотел спрашивать о OB4.

(17 Фев '17 17:42) Artur8488

@Artur8488, да, именно OB1 у меня имелся в виду. А биссектрисой дополнительной части угла будет OB3. Это следует из соображений симметрии. То, что было сказано про OB4 -- это опечатка.

(17 Фев '17 17:48) falcao

исправился...

(17 Фев '17 17:55) all_exist

@falcao: @all_exist: А есть такая теорема что две биссектрисы одного угла с двух сторон
то же самые.

(17 Фев '17 18:00) Artur8488

@Artur8488, ну, может готовой теоремы и нет... но это доказывается в одну строчку...

(17 Фев '17 23:09) all_exist

@Artur8488: это очевидный факт. Все 4 угла вместе дают 360 градусов. Для одного угла это x и x, для другого y и y. Значит, x+x+y+y=360, то есть x+y=180 образуют вместе развёрнутый угол.

(18 Фев '17 0:36) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,244
×839
×35

задан
16 Фев '17 18:54

показан
991 раз

обновлен
18 Фев '17 0:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru