$%\sqrt{\cos^4x -\frac12\cos^2x + \frac1{16}} +\sqrt{\cos^4x -\frac32\cos^2x+\frac9{16}} = 1/2$%

задан 19 Фев '17 13:10

изменен 19 Фев '17 17:04

falcao's gravatar image


236k3345

У меня получилось +- pi/6 +2pin

(19 Фев '17 13:11) Оксано4ка
10|600 символов нужно символов осталось
0

Под знаками квадратного корня везде стоят полные квадраты. Получается $%|\cos^2x-\frac14|+|\cos^2x-\frac34|=\frac12$%. Положим $%y=\cos^2x$%. Тогда окажется, что сумма расстояний от точки $%y$% на числовой прямой до точек $%\frac14$% и $%\frac34$% равна $%\frac12$%, то есть расстоянию между самими этими точками. Это равносильно тому, что $%y$% лежит на отрезке $%[\frac14;\frac34]$%.

Двойное неравенство $%\frac14\le\cos^2x\le\frac34$% записываем в виде $%-\frac12\le\cos2x\le\frac12$% с учётом формулы косинуса двойного угла. Это значит, что $%|\cos2x|\le\frac12$%, то есть $%\cos^22x\le\frac14$%, и тогда $%\cos4x\le-\frac12$%. Решая неравенство на единичной окружности, имеем $%4x\in[\frac{2\pi}3+2\pi n;\frac{4\pi}3+2\pi n]$%, где $%n$% целое, то есть $%x\in\bigcup\limits_{n\in\mathbb Z}[\frac{\pi}6+\frac{\pi n}2;\frac{\pi}3+\frac{\pi n}2]$%.

ссылка

отвечен 19 Фев '17 17:18

изменен 19 Фев '17 17:19

А нельзя модули раскрывать по определения? Когда знаки у модулей разные пустое множество. Когда оба положительные решить систему: cos2x>= -1/2; cos2x>=1/2 и cos2x=1/2. Значит решить только cos2x>=1/2

(19 Фев '17 18:30) Оксано4ка

@Оксано4ка: я стараюсь придерживаться тех способов, где решение получается короче, и меньше шансов случайно ошибиться в вычислениях. При решении неравенства |y-1/4|+|y-3/4|=1/2 можно брать за основу метод интервалов, но геометрический аргумент быстрее ведёт к цели. Что касается неравенства |cos 2x|<=1/2, то при раскрытии модуля получится двойное неравенство -1/2<=cos2x<=1/2. У Вас один из знаков не тот, и зачем-то ещё отдельно рассматривается случай равенства. Конечно, его можно решать на единичной окружности в таком виде, то там будет две симметричных дуги, и период за счёт этого уменьшится.

(19 Фев '17 19:02) falcao

Понятно, спасибо большое за разъяснение.

(19 Фев '17 19:24) Оксано4ка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×97

задан
19 Фев '17 13:10

показан
283 раза

обновлен
19 Фев '17 19:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru