выпуклость - Доказать что подмножество состоит из непрерывно дифференциируемых выпуклых функций

Пусть $%\mathcal{F} \subset C^1(\mathbb{R}^n)$% --- максимальное по включению подмножество непрерывно-дифференцируемых функций на $%R^n$%, удовлетворяющее следующим трем требованиям.

1. Для произвольной функции $%f \in \mathcal{F}$% условие оптимальности первого порядка в некоторой точке является достаточным для того, чтобы эта точка была глобальным минимумом функции: $$ \Bigl(\nabla f(x_0) = 0, \ x_0 \in \mathbb{R}^n \Bigr) \quad \Rightarrow \quad \Bigl( f(x) \geq f(x_0) \; \text{ для всех } x \in \mathbb{R}^n \Bigr), $$

2. Класс $%\mathcal{F}$% замкнут относительно неотрицательных линейных комбинаций: $$ \Bigl(f_1, f_2 \in \mathcal{F}, \; \; \alpha, \beta \geqslant 0\Bigr) \quad \Rightarrow \quad \Bigl(\alpha f_1 + \beta f_2 \in \mathcal{F}\Bigl), $$

3. Класс $%\mathcal{F}$% содержит все аффинные функции: $$ \Bigl(f(x) = a^T x + b, \quad a \in \mathbb{R}^n, \; b \in \mathbb{R} \Bigr) \quad \Rightarrow \quad \Bigl(f \in \mathcal{F}\Bigl). $$

Докажите, что $%\mathcal{F}$% состоит в точности из всех непрерывно-дифференцируемых выпуклых функций.