высшая-математика - Доказательство

Применим критерий для подгрупп. Пусть G -- коммутативная группа, H -- её периодическая часть. Это непустое множество, так как e принадлежит H. Проверим оба условия из критерия. Замкнутость относительно умножения: пусть x,y из H периодичны. Тогда существуют натуральные m,n, для которых x^m=e, y^n=e. Из этого следует, что (xy)^{mn}=x^{mn}y^{mn}=(x^m)^{n}(y^n}^m=e. Значит, xy периодичен, то есть принадлежит H. Замкнутость относительно взятия обратного элемента очевидна, так как из x^m=e следует (x^{-1})^m=(x^m)^{-1}=e.