дифференциальные-уравнения - Помогите пожалуйста

Рассмотрим точку $%(x,y)$% на одной из кривой семейства. Производная функции $%y=x^2-Cx$% в этой точке равна $%y'=2x-C$%. Это угловой коэффициент касательной. У перпендикулярной кривой он равен $%-\frac1{2x-C}=-\frac{x}{2x^2-Cx}=-\frac{x}{x^2+y}$%. Следовательно, искомые кривые из условия должны удовлетворять дифференциальному уравнению $%y'=-\frac{x}{x^2+y}$%.

Будем решать это уравнение, считая $%y$% переменной, а $%x=x(y)$% искомой функцией. Тогда $%x'=-\frac{x^2+y}x$%, то есть $%xx'+x^2+y=0$%. Полагая $%z=x^2$%, имеем $%z'=2xx'=-2z-2y$%. Это линейное неоднородное уравнение, которое решается методом вариации постоянной. Можно вместо этого сложить общее решение однородного уравнения с частным решением неоднородного, которое находится методом неопределённых коэффициентов в виде $%z=ay+b$%. Подстановка в уравнение даёт $%a=-1$%, $%b=\frac12$%.

Таким образом, $%z=\frac12-y+Ce^{-2y}$% даёт общее решение. Вспоминая, что $%z=x^2$%, окончательно имеем семейство кривых вида $%e^{2y}(x^2+y-\frac12)=C$%.