Нужно составить дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом "фи". x^2=y+Cx, угол "фи"=90 градусов. Как такое вообще решать? У нас аспирантка ведет, с трудом можно разобрать что-то в записях и решениях((

задан 23 Фев '17 16:05

изменен 23 Фев '17 16:10

Ну, и здесь совсем, по крайней мере для меня , непонятно совсем условие

(23 Фев '17 16:09) epimkin

@epimkin Слово в слово из учебника. Что именно не понятно???

(23 Фев '17 16:10) Стас001

Раньше было другое задание

(23 Фев '17 16:11) epimkin

@epimkin Это да, моя невнимательность, переправил.

(23 Фев '17 16:14) Стас001
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим точку $%(x,y)$% на одной из кривой семейства. Производная функции $%y=x^2-Cx$% в этой точке равна $%y'=2x-C$%. Это угловой коэффициент касательной. У перпендикулярной кривой он равен $%-\frac1{2x-C}=-\frac{x}{2x^2-Cx}=-\frac{x}{x^2+y}$%. Следовательно, искомые кривые из условия должны удовлетворять дифференциальному уравнению $%y'=-\frac{x}{x^2+y}$%.

Будем решать это уравнение, считая $%y$% переменной, а $%x=x(y)$% искомой функцией. Тогда $%x'=-\frac{x^2+y}x$%, то есть $%xx'+x^2+y=0$%. Полагая $%z=x^2$%, имеем $%z'=2xx'=-2z-2y$%. Это линейное неоднородное уравнение, которое решается методом вариации постоянной. Можно вместо этого сложить общее решение однородного уравнения с частным решением неоднородного, которое находится методом неопределённых коэффициентов в виде $%z=ay+b$%. Подстановка в уравнение даёт $%a=-1$%, $%b=\frac12$%.

Таким образом, $%z=\frac12-y+Ce^{-2y}$% даёт общее решение. Вспоминая, что $%z=x^2$%, окончательно имеем семейство кривых вида $%e^{2y}(x^2+y-\frac12)=C$%.

ссылка

отвечен 24 Фев '17 22:03

изменен 24 Фев '17 22:04

@falcao Спасибо большое! В ответе в учебнике походу ошибка или опечатка, там: (x^2+y)*y'=-x.

(24 Фев '17 23:24) Стас001
1

@Стас001: это не опечатка. У меня получилось то же самое в конце первого абзаца.

Просто я сделал здесь лишнее, а именно, решил составленное уравнение. В условии же не требовалось его решать, а надо было только составить. Теперь всё встало на свои места: я в процессе этого всего думал о том, что у Вас в программе пока ещё не было, скорее всего, методов решения уравнений разного типа. Так и оказалось -- это я по невнимательности взял и "перевыполнил план" :)

(25 Фев '17 0:32) falcao

@falcao Еще раз спасибо! Но скорее это я по невнимательности не заметил) Всегда выручаете меня)))

(25 Фев '17 1:15) Стас001
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,046

задан
23 Фев '17 16:05

показан
558 раз

обновлен
25 Фев '17 1:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru