Вычислить интеграл ((sinx-x*cosx)/(x^3)) dx, x от 0 до +бесконечности.

задан 23 Фев '17 22:21

изменен 23 Фев '17 22:42

1

По-моему, тут после интегрирования по частям должен получиться интегральный синус. Ответ, вроде бы, п/4. Но не исключаю, что можно как-то и проще.

(24 Фев '17 0:10) falcao
1

Да, у меня тоже все свелось к половине интегрального синуса, т.е. получается $%\pi/4$%. Понятно, как решать (два раза интегрирование по частям), но из-за предельных переходов много формальной писанины.

(24 Фев '17 0:38) cartesius

@falcao, @cartesius а на какие функции f и g следует разбить интегрирование по частям?

(24 Фев '17 0:52) Борись

@cartesius, (два раза интегрирование по частям) - почему два?... вроде одного хватает...

(24 Фев '17 1:09) all_exist

@all_exist, вероятно.

(24 Фев '17 1:23) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
1

Для $% 0 < a < b $% имеем

$$\int_a^b\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}dx=\int_a^b\frac{\sin x}{x^3}dx-\int_a^b\frac{\cos x}{x^2}dx=$$ $$=-\frac{\sin x}{2x^2}|_a^b-\frac{1}{2}\int_a^b\frac{\cos x}{x^2}dx=$$

$$=-\frac{\sin x}{2x^2}\vert_a^b-\frac{1}{2}( -\frac{\cos x}{x}\vert_a^b-\int_{a}^b\frac{\sin x}{x}dx)=$$

$$=-\frac{1}{2x}(\frac{\sin x}{x}-\cos x)|_a^b+\frac{1}{2}\int_a^b\frac{\sin x}{x}dx.$$

Если опустить кучу формальностей (разбить интеграл на два, перейти к пределам,...), то слагаемое $$-\frac{1}{2x}(\frac{\sin x}{x}-\cos x)|_a^b$$ в предельном переходе стремится к нулю. Второе слагаемое будет соответствовать пределу интегрального синуса: $$\frac{1}{2}\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\pi/4.$$

ссылка

отвечен 24 Фев '17 1:23

изменен 24 Фев '17 1:26

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$ \int\frac{\sin x-x\cdot\cos x}{x^3}\; dx = \int (\sin x-x\cdot\cos x)\cdot \left(\frac{-1}{2\cdot x^2}\right)'\; dx = $$ $$ = \frac{-\sin x+x\cdot\cos x}{2\cdot x^2} + \int (\sin x-x\cdot\cos x)'\cdot \frac{1}{2\cdot x^2}\; dx = ... $$

ссылка

отвечен 24 Фев '17 2:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,817

задан
23 Фев '17 22:21

показан
553 раза

обновлен
24 Фев '17 2:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru