|
Вычислить интеграл ((sinx-x*cosx)/(x^3)) dx, x от 0 до +бесконечности. задан 23 Фев '17 22:21 
Борись |
|
Для $% 0 < a < b $% имеем $$\int_a^b\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}dx=\int_a^b\frac{\sin x}{x^3}dx-\int_a^b\frac{\cos x}{x^2}dx=$$ $$=-\frac{\sin x}{2x^2}|_a^b-\frac{1}{2}\int_a^b\frac{\cos x}{x^2}dx=$$ $$=-\frac{\sin x}{2x^2}\vert_a^b-\frac{1}{2}( -\frac{\cos x}{x}\vert_a^b-\int_{a}^b\frac{\sin x}{x}dx)=$$ $$=-\frac{1}{2x}(\frac{\sin x}{x}-\cos x)|_a^b+\frac{1}{2}\int_a^b\frac{\sin x}{x}dx.$$ Если опустить кучу формальностей (разбить интеграл на два, перейти к пределам,...), то слагаемое $$-\frac{1}{2x}(\frac{\sin x}{x}-\cos x)|_a^b$$ в предельном переходе стремится к нулю. Второе слагаемое будет соответствовать пределу интегрального синуса: $$\frac{1}{2}\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\pi/4.$$ отвечен 24 Фев '17 1:23 
cartesius |
По-моему, тут после интегрирования по частям должен получиться интегральный синус. Ответ, вроде бы, п/4. Но не исключаю, что можно как-то и проще.
Да, у меня тоже все свелось к половине интегрального синуса, т.е. получается $%\pi/4$%. Понятно, как решать (два раза интегрирование по частям), но из-за предельных переходов много формальной писанины.
@falcao, @cartesius а на какие функции f и g следует разбить интегрирование по частям?
@cartesius, (два раза интегрирование по частям) - почему два?... вроде одного хватает...
@all_exist, вероятно.