олимпиада - Решить уравнение в целых числах

Из условия следует, что $%|1+1/a|\cdot|1+1/b|\cdot|1+1/c|=3.$% Тогда хотя бы один из сомножителей в левой части должен быть не меньше, чем $%\sqrt[3]{3}$%, то есть больше, чем $%1,4.$% С точностью до симметрии, пусть это будет третий сомножитель. Тогда либо $%1+1/c > 1,4,$% откуда $%1/c > 0,4,$% то есть c положительно, и потому $%c<5/2,$% то есть $%c=1$% или $%c=2$%. Либо имеет место случай $%1+1/c < -1,4,$% что означает $%1/c < -2,4,$% и тем самым c отрицательно, откуда $%1/(-c)>2,4,$% но так быть не может ни для какого целого положительного числа $%-c.$%

Следовательно, в решении одно из чисел должно равняться $%1$% или $%2$%. Рассмотрим два случая.

При $%c=1$% имеем $%3ab=2(a+1)(b+1),$% что можно переписать в виде $%ab-2a-2b=2$% или $%(a-2)(b-2)=6.$% Сомножители, будучи целыми, должны принимать значения $%1,6,$% или $%2,3,$% или $%-1,-6,$% или $%-2,-3.$% Самый последний вариант невозможен, так как среди $%a,b,c$% не должно быть нулей. В остальных случаях получаются значения $%a=3,b=8,$% или $%a=4,b=5,$% или $%a=1,b=-4$% с точностью до перестановки.

При $%c=2$% уравнение приобретает вид $%2ab=(a+1)(b+1),$% что эквивалентно $%(a-1)(b-1)=2.$% Здесь сомножители равны $%1,2$% или $%-1,-2,$% и последний вариант невозможен, а для первого имеем $%a=2,b=3$% (с точностью до перестановки).

Таким образом, тройка $%(a,b,c)$% с точностью до перестановки имеет один из четырёх видов: $%(1,3,8), (1,4,5), (1,1,-4), (2,2,3).$% Всего получается $%18$% решений в целых числах (при $%4$% существенно различных).