$$\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}=3$$

задан 6 Янв '13 20:25

изменен 8 Янв '13 22:39

ASailyan's gravatar image


15.4k729

Подождем до завтра

(6 Янв '13 20:53) DocentI

А уравнение исчезло.

(8 Янв '13 15:14) ASailyan

Видимо, автор решила удалить вопрос

(8 Янв '13 15:23) DocentI

Выбрала неудачное время удалить вопрос. @falcao нашел решение.

(8 Янв '13 15:26) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
6

Из условия следует, что $%|1+1/a|\cdot|1+1/b|\cdot|1+1/c|=3.$% Тогда хотя бы один из сомножителей в левой части должен быть не меньше, чем $%\sqrt[3]{3}$%, то есть больше, чем $%1,4.$% С точностью до симметрии, пусть это будет третий сомножитель. Тогда либо $%1+1/c > 1,4,$% откуда $%1/c > 0,4,$% то есть c положительно, и потому $%c<5/2,$% то есть $%c=1$% или $%c=2$%. Либо имеет место случай $%1+1/c < -1,4,$% что означает $%1/c < -2,4,$% и тем самым c отрицательно, откуда $%1/(-c)>2,4,$% но так быть не может ни для какого целого положительного числа $%-c.$%

Следовательно, в решении одно из чисел должно равняться $%1$% или $%2$%. Рассмотрим два случая.

При $%c=1$% имеем $%3ab=2(a+1)(b+1),$% что можно переписать в виде $%ab-2a-2b=2$% или $%(a-2)(b-2)=6.$% Сомножители, будучи целыми, должны принимать значения $%1,6,$% или $%2,3,$% или $%-1,-6,$% или $%-2,-3.$% Самый последний вариант невозможен, так как среди $%a,b,c$% не должно быть нулей. В остальных случаях получаются значения $%a=3,b=8,$% или $%a=4,b=5,$% или $%a=1,b=-4$% с точностью до перестановки.

При $%c=2$% уравнение приобретает вид $%2ab=(a+1)(b+1),$% что эквивалентно $%(a-1)(b-1)=2.$% Здесь сомножители равны $%1,2$% или $%-1,-2,$% и последний вариант невозможен, а для первого имеем $%a=2,b=3$% (с точностью до перестановки).

Таким образом, тройка $%(a,b,c)$% с точностью до перестановки имеет один из четырёх видов: $%(1,3,8), (1,4,5), (1,1,-4), (2,2,3).$% Всего получается $%18$% решений в целых числах (при $%4$% существенно различных).

ссылка

отвечен 8 Янв '13 14:01

изменен 10 Янв '13 14:32

falcao Разъясните мне пожалуйста первую часть решения. Я не понял откуда кубический корень из 3 взялся?

(15 Янв '13 20:13) JIogin

Слева стоит произведение трех сомножителей, если они все равны, то равны как раз этому корню. Если они не равны между собой, то один больше $%\sqrt[3]3$%,а другой меньше.

(15 Янв '13 20:22) DocentI

Есть три положительных числа; их произведение равно трём. Я делаю отсюда вывод, что хотя бы один из трёх сомножителей не меньше корня кубического из произведения. В самом деле, предположим, что это не так. Тогда есть три положительных числа, и каждое из них меньше некой величины a. Тогда произведение будет меньше, чем aaa. В роли a у нас здесь выступает кубический корень из трёх, то есть получается, что наше произведение меньше aaa=3. Однако мы знаем, что оно равно 3. Значит, сделанное нами предположение было неверно, и тем самым всё доказано.

(15 Янв '13 20:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

В этом уравнении корней нет так как число (abc)не является делителем числа (a+1)(b+1)(c+1). (a+1)(b+1)(c+1)должно быть в 3 раза больше (abc), а это невозможно, так как(a+1)(b+1)(c+1)всегда будет четным.

ссылка

отвечен 7 Янв '13 11:17

Почему четное число не может быть в 3 раза больше другого числа? Почему произведение трех (произвольных) чисел четно?
Даже если ответ верен, доказательство неудовлетворительное!

(7 Янв '13 12:20) DocentI
1

$%a = 1, b = 3, c = 8$% подходят

(7 Янв '13 12:29) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×937
×787
×119

задан
6 Янв '13 20:25

показан
2910 раз

обновлен
15 Янв '13 22:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru