Существует ли прямоугольный треугольник, у которого длины двух сторон – целые числа, а длина третьей стороны равна $%\quad 2016^{\frac{1}{2}}$%?

Первый пример, который приходит в голову практически сразу, это $$503,\quad 2016^{\frac{1}{2}},\quad 505$$ , ведь любое число, кратное 4, это разность квадратов двух чисел через одно.

Однако ни один из трёх приведённых в решении примеров даже близко не пахнет вышеуказанным: http://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=65962

Может, я что-то не так делаю?

задан 26 Фев '17 12:12

1

В каком смысле близко не пахнет? У вас $%\sqrt{2016}$% — меньший катет, у них — больший; вот и вся разница. Что примеров таких много, они так и сказали. А почему для демонстрации выбрали другие примеры — ну, так головы у всех по-разному работают… Un archiduc vaut l'autre…

(26 Фев '17 15:17) abracadabra10

@abracadabra10 , большое спасибо!

(26 Фев '17 16:27) Аллочка Шакед

@Танюшка Да не за что! :)

(26 Фев '17 17:01) abracadabra10
10|600 символов нужно символов осталось
2

Тут можно исследовать всё целиком.

Прежде всего, гипотенуза не может иметь такую длину, так как 2016 не является суммой двух квадратов (а суммой трёх уже является, хотя удвоенное число 4032 не является -- там нужно четыре квадрата). Для такого свойства есть критерий, позволяющий ничего не перебирать. А именно, для представимости числа в виде суммы квадратов двух целых необходимо и достаточно, чтобы в каноническом разложении числа, все показатели степени при простых числах $%p=4k+3$% были чётными. Здесь же $%2016=2^53^27$%. Но проще всего доказать из соображений делимости на 7: оба числа на 7 делиться не могут, так как нет делимости на 49. А квадраты чисел, не делящихся на 7, дают в остатке 1, 2 или 4, и тогда сумма двух (одинаковых или разных) на 7 не делится.

Варианты с разностью квадратов все легко перечисляются: если $%c^2-b^2=(c-b)(c+b)=2016$%, то оба сомножителя чётны. Тогда $%\frac{c-b}2\frac{c+b}2=504=2^33^27$%. Это число имеет 24 натуральных делителя, поэтому имеется ровно 12 вариантов разложения $%504=d_1d_2$%, где $%d_1 < d_2$%. Далее полагаем $%c=d_1+d_2$%, $%b=d_2-d_1$%. Ваш случай соответствует $%d_1=1$%, а в решении по ссылке взято $%d_1=21$%, $%d_2=24$%, где делители ближе всего друг к другу. И имеется много промежуточных вариантов, которые легко выписываются: $%2016=505^2-503^2=254^2-250^2=171^2-165^2=\cdots=46^2-10^2=45^2-3^2$%.

ссылка

отвечен 26 Фев '17 20:51

@falcao , большое спасибо!

(27 Фев '17 2:29) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,011
×619
×322
×206
×36

задан
26 Фев '17 12:12

показан
230 раз

обновлен
27 Фев '17 2:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru