|
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство $$||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|\leq7x+24$$ выполняется для всех значений$$x\in[0;7]$$ Правильный ответ: [-3;4], но мне интересно, как это решать. задан 26 Фев '17 17:04 
qMath |
|
Случай $%a=0$% рассматривается легко, если помнить, что $%x \geq 0$%. Это значение подходит. Осталось рассмотреть два случая. Пусть $%a>0$%. Тогда $%|x-a|+|3x-a|+4a \leq 7x+24$%. Линия левой части сначала убывает с коэффициентом $%-4$%, затем возрастает с коэффициентами $%2$%, потом $%4$%; значит, если она не выше прямой $%y=7x+24$% в нулевой точке, то она эту прямую никогда не догоняет. При $%x=0, a>0$% составляем неравенство: $%6a \leq 24$%. Пусть $%a<0$%. Тогда $%|x+2a|+|3x+3a|-3a \leq 7x+24$%. Линия левой части ведёт себя точно так же. При $%x=0, a<0$% составляем неравенство: $%-8a \leq 24$%. отвечен 26 Фев '17 21:20 
abracadabra10 |
Вроде эта задача уже была здесь.
@qMath, самое первое, что пришло в голову: решить неравенство относительно $%a$%. К правильному ответу это приводит, но решение слишком уж объемное ( для внутренних модулей 3 случая раскрытия модулей и столько же для внешних ). Попробую посмотреть, можно ли как-то проще.
@cartesius, если делать полное раскрытие модулей, то получается слишком много комбинаций...
@qMath, можно ограничиться 5-ю. Хотя из картинки следует, что если решать относительно $%x$% достаточно рассмотреть 2 случая: $%x<24/7$% и $%x\geqslant 24/7$%...