При каждом действительном значении параметра a найдите количество различных действительных корней уравнения 16x^4+ax^2+1=32x^3+8x

задан 2 Мар '17 19:22

10|600 символов нужно символов осталось
2

Выделим полный квадрат: $%(4x^2-4x)^2+(a-16)x^2-8x+1=0$%. Далее прибавим и вычтем $%8x^2$%. Это даст $%(4x^2-4x)+2(4x^2-4x)+1+(a-24)x^2=0$%, то есть $%(4x^2-4x+1)^2+(a-24)x^2=0$%.

Если $%a=24$%, то корень ровно один: $%x=\frac12$%. При $%a > 24$% корней нет. Если $%a < 24$%, то $%(2x-1)^2=4x^2-4x+1=\pm\sqrt{24-a}\,x$%. Дискриминант квадратного уравнения $%4x^2-(4\pm\sqrt{24-a})x+1=0$% равен $%D=(4\pm\sqrt{24-a})^2-16=24-a\pm8\sqrt{24-a}$%, то есть $%D=\sqrt{24-a}(\sqrt{24-a}\pm8)$%. Для знака "плюс" всегда получится два различных корня. Для знака "минус" при $%a=-40$% появится третий корень $%x=\frac12$%, отличающийся от первых двух. При $%a < -40$% появятся два новых корня. Легко понять, что ни один из них не может совпасть с одним из рассмотренных ранее корней, так как общий корень $%x$% двух таких квадратных уравнений удовлетворял бы условию $%4x^2+1=(4+\sqrt{24-a})x=(4-\sqrt{24-a})x$%, что невозможно ввиду $%x\ne0$%.

Таким образом, при $%a < -40$% корней четыре, при $%a=-40$% три, при $%-40 < a < 24$%, при $%a=-24$% один, при $%a > 24$% корней ноль.

ссылка

отвечен 2 Мар '17 19:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,301
×3,508
×496

задан
2 Мар '17 19:22

показан
423 раза

обновлен
2 Мар '17 19:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru