Пусть $%R$% - ассоциативное кольцо с единицей. Доказать, что все модули над $%R$% свободны тогда и только тогда, когда $%R$% - тело.

задан 3 Мар '17 22:21

@Nitram Irt, под модулем подразумевается конечно порожденный модуль?

(3 Мар '17 22:58) cartesius

@cartesius, в задаче о конечности модуля ничего сказано не было.

(3 Мар '17 23:03) Nitram Irt
10|600 символов нужно символов осталось
1

Будем рассматривать левые $%R$%-модули. Предположим, что все они свободны. Докажем, что $%R$% является телом. Достаточно установить, что всякий ненулевой элемент $%a\in R$% обратим. При этом достаточно обратимости слева для каждого ненулевого элемента: если $%a\ne0$% имеет левый обратный $%b$%, то $%ba=1$%, откуда $%bab=b$%. На элемент $%b$% при этом можно сократить слева, что даёт $%ab=1$%, то есть двустороннюю обратимость.

Предположим, что $%a\ne0$% не обратим слева. Тогда левый идеал $%Ra$% не единичен, и потому содержится в максимальном левом идеале $%I$%. Тогда фактормодуль $%M=R/I$% является простым, то есть не содержит нетривиальных левых $%R$%-подмодулей. По условию, он свободен, то есть обладает свободным базисом $%X$%. Этот базис непуст; рассмотрим элемент $%x\in X$%. Для него мы имеем левый подмодуль $%Rx$%, который должен совпадать с $%M$%. Отображение $%R\to Rx$% по правилу $%r\mapsto rx$% сюръективно, а также инъективно ввиду принадлежности элемента $%x$% базису. Отсюда следует, что это изоморфизм левых $%R$%-модулей, откуда $%R\cong M$% является простым левым $%R$%-модулем. Но это значит, что в $%R$% нет нетривиальных левых идеалов, что влечёт левую обратимость ненулевых элементов.

Обратное утверждение представляет собой доказательство того, что если $%R$% тело, то всякий левый $%R$%-модуль $%M$% обладает базисом. Это делается стандартно при помощи леммы Цорна. Рассматриваются все линейно независимые над $%R$% системы (бесконечная система называется линейно независимой, если этим свойством обладает любая конечная её подсистема). Это частично-упорядоченное множество относительно включения. Любая цепь имеет верхнюю грань, так как можно взять объединение. В итоге мы имеем максимальную линейно независимую подсистему $%X$%. Она порождает весь модуль $%M$%, то есть является базисом. Действительно, если какой-то элемент $%M$% не принадлежит линейной $%R$%-оболочке $%X$%, то его можно добавить к $%X$%, получая линейно независимую систему. Последнее вытекает из того, что если $%rm+r_1x_1+\cdots+r_nx_n=0$% для некоторых $%r,r_1,...,r_n\in R$% и $%x_1,...,x_n\in X$%, то в случае $%r=0$% получается $%r_1=\cdots=r_n=0$% ввиду линейной независимости $%X$%, а случай $%r\ne0$% влечёт обратимость $%r$%, поскольку $%R$% -- тело. Тогда $%m$% линейно выражается через элементы $%X$% как $%m=-r^{-1}(r_1x_1+\cdots+r_nx_n)$%, вопреки предположению. Таким образом, $%X\cup\{m\}$% линейно независима вопреки максимальности $%X$%. Полученное противоречие доказывает, что $%X$% базис, и $%M$% свободен.

ссылка

отвечен 4 Мар '17 2:35

Большое спасибо за подробный ответ!

(4 Мар '17 18:06) Nitram Irt
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,241
×103
×88

задан
3 Мар '17 22:21

показан
607 раз

обновлен
4 Мар '17 18:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru