|
Докажите, что сумма попарных произведений восьми последовательных целых чисел не может равняться никакой степени целого числа выше первой. задан 5 Мар '17 0:52 
Аллочка Шакед |
|
Можно в явном виде выписать само выражение, взяв числа $%n-3$%, $%n-2$%, ... , $%n+4$%, где $%n$% целое. Это даёт $%14(2n^2+6n+3)$%, что делится на 2 и не делится на 4. Отсюда ясно, что собственная степень получиться не может. Чтобы не вычислять, можно рассмотреть остатки от деления на 4. Числа будут иметь вид 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3 по модулю 4. Нетрудно проверить, что сумма попарных произведений по модулю 4 равна 2, откуда следует всё то же самое. отвечен 5 Мар '17 1:06 
falcao @falcao , большое спасибо!
(5 Мар '17 1:12)
Аллочка Шакед
|
|
Невнимательно прочитал условие - рассматривал произведение чисел. $$n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)(n+7)=\\=(n^2+7n)(n^2+7n+6)(n^2+7n+10)(n^2+7n+12)=k(k+6)(k+10)(k+12)=\\=k^4+28k^3+252k^2+720k.$$ Последнее число (кратное 16) несложно "зажать" между последовательными квадратами чисел, кратных четырём. Поэтому исходное число не может быть квадратом. За кубы - сказать что-либо сложно. отвечен 5 Мар '17 1:32 
EdwardTurJ @EdwardTurJ , и Вам спасибо!
(5 Мар '17 1:59)
Аллочка Шакед
|