Докажите, что сумма попарных произведений восьми последовательных целых чисел не может равняться никакой степени целого числа выше первой.

задан 5 Мар '17 0:52

10|600 символов нужно символов осталось
2

Можно в явном виде выписать само выражение, взяв числа $%n-3$%, $%n-2$%, ... , $%n+4$%, где $%n$% целое. Это даёт $%14(2n^2+6n+3)$%, что делится на 2 и не делится на 4. Отсюда ясно, что собственная степень получиться не может.

Чтобы не вычислять, можно рассмотреть остатки от деления на 4. Числа будут иметь вид 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3 по модулю 4. Нетрудно проверить, что сумма попарных произведений по модулю 4 равна 2, откуда следует всё то же самое.

ссылка

отвечен 5 Мар '17 1:06

@falcao , большое спасибо!

(5 Мар '17 1:12) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
2

Невнимательно прочитал условие - рассматривал произведение чисел. $$n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)(n+7)=\\=(n^2+7n)(n^2+7n+6)(n^2+7n+10)(n^2+7n+12)=k(k+6)(k+10)(k+12)=\\=k^4+28k^3+252k^2+720k.$$ Последнее число (кратное 16) несложно "зажать" между последовательными квадратами чисел, кратных четырём. Поэтому исходное число не может быть квадратом. За кубы - сказать что-либо сложно.

ссылка

отвечен 5 Мар '17 1:32

@EdwardTurJ , и Вам спасибо!

(5 Мар '17 1:59) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,403
×1,129
×370
×314
×211

задан
5 Мар '17 0:52

показан
727 раз

обновлен
5 Мар '17 1:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru