1
1

Многочлен $%P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$% заменяют многочленом $%P_1(x)=a_nx^{n-2}(3x-2)+a_{n-1}x^{n-3}(3x-2)+...a_3x(3x-2)+a_2(3x-2)+a_1x+a_0$%, полученный многочлен аналогичным образом заменяют многочленом $%P_2(x)$% и т.д.

a)Имеем многочлен $%P(x)=x^{2013}$%.Через скольких таких замен получится двучлен $%ax+b?$%

б)Найти $%a$% и $%b$%.

задан 7 Янв '13 22:39

изменен 7 Янв '13 22:45

Что-то с условием не совсем ясно. Как осуществляется переход $%P(x)\rightarrow P_1(x)?$%

(9 Янв '13 11:39) Anatoliy

Пусть $%P(x) = Q(x)\cdot x^2 + R(x)$% , тогда $%P_1(x) = Q(x)(3x - 2) + R(x)$%. На линейных многочленах преобразование тождественно.

(9 Янв '13 12:41) DocentI

Все ясно. Спасибо.

(9 Янв '13 15:13) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
3

При х=2/3 сумма последних двух членов всех выражений, начиная со второго, равна значению многочлена при этом х. Отсюда получается второе уравнение для определения коэффициентов а и в.

Вопрос к @ASailyan: Вот именно. Почему же тогда "не так"?

Ответ @ASailyan. Если учесть рекуррентное соотношение $%P_{n+1}(x)=\frac{3x-2}{x^2}(P_n(x)-a_{n_{1}}x-a_{n_0})+ a_{n_{1}}x+a_{n_0},$% то $%P_{n+1}(\frac{2}{3})=a_{n_{1}}\cdot \frac{2}{3}+a_{n_0},$% а это выражение зависит от $%n.$%

DocentI, ASailyan, Верно, неточно понял условие.

Исправление: На каждом шаге преобразование $%P(x)=Q(x)x^2+R(x) -> P_1(x)=Q(x)(3x−2)+R(x)$% соответствует вычитанию из исходного многочлена слагаемого, пропорционального $%x^2-3x+2 = (x-1)(x-2),$% следовательно, окончательно получаем равенство $%P(x)=T(x)(x-1)(x-2)+ax+b,$% где $%T(x)$% - неизвестный многочлен. Полагая $%x=1$% и $%x=2,$% исключаем $%T(x)$% и находим: $%a=2^{2013}-1, b=2-2^{2013}.$%

ссылка

отвечен 9 Янв '13 14:30

изменен 9 Янв '13 20:40

ASailyan's gravatar image


15.5k931

1

Выпишите его! У меня не получилось, я этот ход пробовала... Дело в том, что и последние два слагаемых все время меняются. И значение многочлена в этой точке - тоже.

(9 Янв '13 15:37) DocentI
1

Вот теперь хорошо! Прекрасная идея, и короткое решение!

(9 Янв '13 18:55) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Пока только заметила, что сумма коэффициентов многочлена не меняется, так как это $%P(1)$%. Это дает нам $%a + b = 1$%. Думаю дальше.

Дополнение. Проверка для малых $%n$% показывает, что образом многочлена $%x^n$% будет $%(2^{n}-1)x + (2 - 2^{n})$% . Может, можно доказать это по индукции?

Решение. Обозначим через $%f(P)$% преобразование, заданное в условии. Ясно, что многочлен степени $%n$% через $%n- 1$% применений этого преобразования превратиться в линейный. Далее при применении того же преобразования он меняться не будет. Обозначим $%A = f^{n-1}$%, это преобразование превращает любой многочлен степени не выше $%n$% в линейный. Оператор A является линейным .

Докажем по индукции, что $%A(x^n) = (2^n -1)x + 2-2^n$%. Имеем $%A(x^2) = 3x - 2$%. Это база индукции.

Пусть для всех k меньше $%n$% имеем $%A(x^k) = (2^k - 1)x + 2 - 2^k$%. Тогда $%f(x^{k + 1}) = 3x^k - 2x^{k-1}$%. Применяя еще $%k -1$% раз оператор $%f$%, получим равенство $%A(x^{k+1}) = 3A(x^k) - 2A(x^{k-1})$% подставляя значения из предположения индукции, получаем нужную формулу.

ссылка

отвечен 8 Янв '13 21:08

изменен 9 Янв '13 0:23

Правильно,что $%a+b=p(1)$%.

Ждем полного решения.

(8 Янв '13 22:27) ASailyan

Это короткое решение. Но для школьника сложновато. Было бы возможность поставила еще один "+" и Вам и @chameleon.

(9 Янв '13 9:58) ASailyan

Честно говоря, я не вижу другого ...

(9 Янв '13 10:04) DocentI

Как я говорила в комментарии к ответу @chameleon, когда-то решила эту задачу для моего ученика,который участвовал в републиканской олимпиаде и в моих бумагах сохранилась это решение.

(9 Янв '13 10:14) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
1

a) Пусть первначально степень многочлена равна $%n$%. Тогда после первой замены она равна $%n-1$%, после второй - $%n-2$% и т.д. В итоге,чтобы степень оказалась равной $%1$%,необходимо прoизвести $%n-1$% замен.Для $%P(x)=x^{2013}$% нужен $%2012$% замен.

б) Не трудно заметить что имеет место рекуррентное соотношение $%P_{n+1}(x)=\frac{3x-2}{x^2}(P_n(x)-a_{n_{1}}x-a_{n_0})+ a_{n_{1}}x+a_{n_0}=$% $%=\frac{3x-2}{x^2}P_n(x)+( a_{n_{1}}x+a_{n_0})\frac{x^2-3x+2}{x^2},(n=0,1,2,...,2011),$% отсюда следует что $%P_{n+1}(1)=P_{n}(1),P_{n+1}(2)=P_{n}(2),(n=0,1,2,...,2011, P_{0}(x)=P(x)).$%Имеем $%P_{2012}(x)=ax+b,P(x)=x^{2013}.$% И так $% P_{2012}(1)=P(1)=1^{2013}=1, P_{2012}(2)=P(2)=2^{2013}.$% Получаем систему $%\begin{cases}a+b=1\\2a+b=2^{2013}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=2^{2013}-1\\b=2-2^{2013}\end{cases}$%

ссылка

отвечен 10 Янв '13 22:01

изменен 11 Янв '13 14:26

10|600 символов нужно символов осталось
0

Ну,вроде бы так. Пусть первначально степень многочлена равна $%n$%. Тогда после очереднго преобразования она равна $%n-1$%, после второго - $%n-2$% и т.д. В итоге,чтобы степень оказалась равной $%1$%,необходимо призвести $%n-1$% преобразвание... А вот второе пока думаю))))

ссылка

отвечен 8 Янв '13 13:55

изменен 8 Янв '13 14:54

ASailyan's gravatar image


15.5k931

Вы на правильной пути.

(8 Янв '13 14:54) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×319

задан
7 Янв '13 22:39

показан
1629 раз

обновлен
11 Янв '13 14:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru