Как доказать что $$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ n^{2} }{ 3^{n} } =0 $$ без правила Лопиталя?

задан 8 Янв '13 2:56

10|600 символов нужно символов осталось
1

Извсето предел $%\lim_{n \rightarrow \infty}q^n=0, $% при $%|q|<1.$% Значит последовательность $%(\frac{2}{3})^n$% бесконечно малая . Легко доказать ,что при $%n\ge 5, $% верно неравенство $%n^2<2^n \Rightarrow \frac{n^2}{3^n}<(\frac{2}{3})^n,$% при $%n\ge5$% , отсюда следует что бесконечно малая и последователность $% \frac{n^2}{3^n}.$% И так $$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^2}{3^n}=0,$$

ссылка

отвечен 8 Янв '13 10:20

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$(0<\frac{n^{2}}{3^{n}}<\frac{1}{2^n},n>13)\Rightarrow (0\le\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ n^{2} }{ 3^{n} } \le \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ 1 }{ 2^{n} }). $$Покажем, что $$\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ 1 }{ 2^{n} }=0.$$$$\forall\varepsilon>0;\Big|\frac{ 1 }{ 2^{n} } \Big|<\varepsilon\Rightarrow n >\log_{2}\frac{1}{\varepsilon}; N(\varepsilon)=[\log_{2}\frac{1}{\varepsilon}]\Rightarrow\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ 1 }{ 2^{n} }=0.$$$$(0\le\lim_{n \Rightarrow \infty } \frac{ n^{2} }{ 3^{n} } \le \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ 1 }{ 2^{n} })\wedge \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ 1 }{ 2^{n} }=0\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ n^{2} }{ 3^{n} }=0.$$

ссылка

отвечен 8 Янв '13 13:47

изменен 8 Янв '13 19:08

10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно использовать бином Ньютона. $%3^n = (1 + 2)^n > C_n^32^3 ={n(n-1)(n-2)\over 6}8$% . Из этого и следует предел.

ссылка

отвечен 8 Янв '13 21:43

10|600 символов нужно символов осталось
0

а может рассуждать так: это записан необходимый признак сходимости ряда. данный ряд сходится по признаку Д'Аламбера (достаточный признак сходимости числовых знакоположительных рядов). Если сходимость доказана по достаточному признаку, то необходимый признак сходимости будет выполнятся автоматически.

ссылка

отвечен 8 Янв '13 19:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×517

задан
8 Янв '13 2:56

показан
2038 раз

обновлен
8 Янв '13 21:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru