|
Как доказать что $$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ n^{2} }{ 3^{n} } =0 $$ без правила Лопиталя? задан 8 Янв '13 2:56 
redfox94 |
|
Извсето предел $%\lim_{n \rightarrow \infty}q^n=0, $% при $%|q|<1.$% Значит последовательность $%(\frac{2}{3})^n$% бесконечно малая . Легко доказать ,что при $%n\ge 5, $% верно неравенство $%n^2<2^n \Rightarrow \frac{n^2}{3^n}<(\frac{2}{3})^n,$% при $%n\ge5$% , отсюда следует что бесконечно малая и последователность $% \frac{n^2}{3^n}.$% И так $$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^2}{3^n}=0,$$ отвечен 8 Янв '13 10:20 
ASailyan |
|
$$(0<\frac{n^{2}}{3^{n}}<\frac{1}{2^n},n>13)\Rightarrow (0\le\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ n^{2} }{ 3^{n} } \le \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ 1 }{ 2^{n} }). $$Покажем, что $$\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ 1 }{ 2^{n} }=0.$$$$\forall\varepsilon>0;\Big|\frac{ 1 }{ 2^{n} } \Big|<\varepsilon\Rightarrow n >\log_{2}\frac{1}{\varepsilon}; N(\varepsilon)=[\log_{2}\frac{1}{\varepsilon}]\Rightarrow\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ 1 }{ 2^{n} }=0.$$$$(0\le\lim_{n \Rightarrow \infty } \frac{ n^{2} }{ 3^{n} } \le \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ 1 }{ 2^{n} })\wedge \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ 1 }{ 2^{n} }=0\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ n^{2} }{ 3^{n} }=0.$$ отвечен 8 Янв '13 13:47 
Anatoliy |
|
а может рассуждать так: это записан необходимый признак сходимости ряда. данный ряд сходится по признаку Д'Аламбера (достаточный признак сходимости числовых знакоположительных рядов). Если сходимость доказана по достаточному признаку, то необходимый признак сходимости будет выполнятся автоматически. отвечен 8 Янв '13 19:57 
materova |