4
1

Известно ли вам, что общего у чисел 1 и 441?

1) Оба они - квадраты натуральных чисел.

2) Их суммы цифр - тоже.

3) А также произведения цифр.

4) Ну и наконец, количество делителей каждого из них - тоже квадрат натурального числа (у числа 1 один делитель, а у 441 ровно 9 делителей).

У меня такое ощущение, [s]что её устроила цена[/s] что больше таких натуральных чисел нет. А может, я ошибаюсь? А вдруг их вообще бесконечно много?

задан 6 Мар '17 2:58

А нули разрешены?)

(6 Мар '17 14:51) Williams Wol...

Но вообще таких чисел много...

(6 Мар '17 14:51) Williams Wol...
1

1 100 441 2601 9025 10000 14884 40401 40804 41209 44100 48841 61009 62001 70225 75076 90601 91204 101761 103041 108241 126025 152100 198025 199809 206116 251001 260100 288369 294849 297025 305809 306916 346921 390625 401956 403225 450241 461041 487204 509796 592900 605284 606841 660969 724201 801025 819025 850084 870489 900601 970225 986049 990025 1000000 1006009 1022121 1081600 1212201 1232100 1234321 1295044 1315609 1320201 1336336 1444804 1555009 1575025 1620529 1809025 1833316 1836025 2010724 Только то что программа нашла.

(6 Мар '17 14:51) Williams Wol...
1

@Williams Wol...: числа с участием нуля можно смело выкидывать. Верно то, что 0 является точным квадратом (квадратом целого числа). Но здесь говорится о квадрате натурального числа. Школьный натуральный ряд начинается с 1. То есть тут как бы всё "схвачено". А другие примеры -- хорошие. Похоже на то, что таких чисел всё-таки бесконечно много.

(6 Мар '17 15:57) falcao
1

Радует наличие в списке 1234321. Это ведь квадрат 1111. С тем, что сумма цифр у квадрата репьюнита будет квадратом, вопросов нет. С произведением тоже, если число единиц - квадрат.

(6 Мар '17 16:11) knop
1

@falcao, поглядите на добавку к моему решению. Может быть, Вы добьёте то, что там осталось...

(6 Мар '17 16:58) knop

Вообще-то если число равно $%p^nq^m$%, где $%p$%, $%q$% — простые, то количество делителей у числа есть $%(n+1)(m+1)$%. Отсюда следует, что число делителей любого квадрата есть квадрат нечётного числа. «По-моему, так!» ©

(7 Мар '17 15:19) abracadabra10

@abracadabra10: так ведь тут всё зависит от показателей. Если p^{n}q^{m} -- квадрат, то n, m чётны, но тогда число (n+1)(m+1) просто нечётно. Квадратом оно быть совсем не обязано: например, n=2, m=4.

(7 Мар '17 16:30) falcao

@knop: у меня была мысль рассматривать числа вида 11...1 с количеством единиц, равным k^2. Там вроде бы большие шансы что-то получить. Вроде бы, k=3 какому-то из свойств не удовлетворяет, а k=4 уже удовлетворяет.

(7 Мар '17 16:33) falcao

Тот же самый список без clutter'а: 1 441 14884 48841 288369 294849 346921 1234321 1336336 1833316 2356225 3767481 6325225 16966161 18844281 19989841 23319241 26286129 42393121 48191364 49942489 54567769 61261929 64931364 86974276 92332881 92948881 98863249…

(7 Мар '17 18:07) abracadabra10

Во, нашёл (составил программу получше). До 10 миллиардов их всего 170 штук, включая те 28, которые я сообщил (до ста миллионов).

(7 Мар '17 19:13) abracadabra10
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
5

$%294849= 3\cdot3\cdot181\cdot181$%, все свойства тоже выполнены.

Еще хочу сделать заявку на обоснование бесконечности числа решений.

$%A_{20}=\frac{10^{20}+2}{6}=166\dots67$%, где в числе 18 шестёрок. Число $%A$% раскладывается на два простых множителя ($%155977777 \cdot 10685282857$%), и это единственное, что нужно знать, чтоб было выполнено свойство 4) о количестве делителей у $%A^2$%.

Далее, $%A_{20}^2=277777777777777777788888888888888888889$% ;-), в этом числе одна двойка, одна девятка, 18 семёрок и 19 восьмёрок, поэтому с произведением цифр тоже всё хорошо, а сумма цифр равна $%2+18\cdot7+19\cdot8+9=289=17^2$%.

Очевидно, что с произведением цифр всё будет столь же хорошо, если вместо $%A_{20}$% будет $%A_{2n}$% с любым целым $%n$%. Сумма цифр при этом будет равна $%(2n-2)7+(2n-1)8+11=30n-11$%. Это выражение бывает квадратом при $%n=60k^2\pm52k+10$%, то есть при бесконечно многих $%n$%.

Следовательно, осталось только добиться того, чтобы $%A_n$% имело чётное число различных простых делителей и не имело ни одного делителя, входящего в разложение на множители в степени выше 1. Выглядит как весьма вероятное свойство...

ссылка

отвечен 6 Мар '17 8:32

изменен 6 Мар '17 16:57

@knop , большое спасибо!

(6 Мар '17 11:26) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,199
×1,092
×338
×209
×45

задан
6 Мар '17 2:58

показан
829 раз

обновлен
7 Мар '17 19:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru